Sujet
Un constructeur de carreaux souhaite commercialiser une nouvelle frise (représentée ci-contre), composée de 4 carreaux. Chaque partie du carreau est teintée à l'aide de différents pigments colorés : gris et noirs.
Le carreau situé en haut à gauche de la frise peut être représenté comme cidessous :
Chaque carreau est conçu de la manière
suivante :
- C'est un rectangle de 12 centimètres de long et de 10 centimètres de large.
- La longueur AG peut varier.
- Le point F est situé au milieu du segment [DE].
- Les longueurs AG et BE sont égales ; par la suite on notera \(x\) leur mesure commune.
Partie 1
Pour savoir quelle longueur \(x\) choisir, le constructeur de carreaux souhaite réaliser une étude de marché en France. Un institut de sondage propose donc à un échantillon de 1200 personnes françaises 4 modèles de carreaux différents, représentés ci-dessous.Modèle \(\mathrm{n^{\circ} 1\)}
Modèle \(\mathrm{n^{\circ} 2\)}
Modèle \(\mathrm{n^{\circ} 3\)}
Modèle \(\mathrm{n^{\circ} 4\)}
Les résultats du sondage sont les suivants :
| Modèle | \(\mathrm{n}^{\circ} 1\) | \(\mathrm{n}^{\circ} 2\) | \(\mathrm{n}^{\circ} 3\) | \(\mathrm{n}^{\circ} 4\) |
| Nombre de personnes ayant préféré le modèle | 252 | 300 | 384 | 264 |
À partir de ce sondage, le constructeur de carreaux conclut que le modèle préféré des français est le modèle \(\mathrm{n}^{\circ} 3\).
Rappel : pour estimer la proportion \(p\) d'un caractère donné dans une population à partir d'un échantillon de taille \(\geq 25\), on peut utiliser l'intervalle de confiance \(I=\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]\) si la fréquence \(f\) est comprise entre 0,2 et 0,8.
On estime alors que la proportion p du caractère étudié est dans l'intervalle I avec un niveau de confiance d'au moins 95\%.
- Calculer les quatre intervalles de confiance à \(95 \%\) correspondant à chacun des quatre modèles proposés lors du sondage précédent.
- Que penser de la conclusion du constructeur de carreaux ?
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