Exercice 3 — zombies

Sujet

Séries ES et L

On peut trouver sur le site du très sérieux CDC (Center for Disease Control and prevention), principale agence gouvernementale pour la santé des Etats-Unis, des conseils en cas d'apocalypse due à un virus zombie*. Il y a en particulier le bulletin d'alerte suivant :
"Zombie intruders infiltrated the northern borders of the city. Moving slowly but effectively, these perpetrators are headed southbound directly towards the downtown/metro area. Northern residents are reporting panic-stricken citizens making rash decisions and causing structural damage and utility line destruction.
The zombies themselves are attacking mercilessly, \(40 \%\) of the population has re-emerged as zombies"
Vocabulaire : Mercilessly : sans pitié et re-emerged : réapparu

Partie 1

Dans cette partie, on suppose qu'un zombie contamine deux nouvelles personnes au bout de chaque heure et qu'il y avait un seul zombie au départ de l'épidémie.

1. a. Quel sera le nombre de zombies au bout de 1 heure ?
   b. Quel sera le nombre de zombies au bout de 2 heures ?
   c. Quel sera le nombre de zombies au bout de 10 heures ?
2. La population de cette ville est de 1325000 habitants. On arrondira les nombres d'heures demandées à l'unité.
   a. En utilisant le bulletin d'alerte ci-dessus, déterminer au bout de combien d'heures l'épidémie a débuté ?
   b. En déduire le nombre d'heures pour que la ville soit entièrement contaminée.

Partie 2

Après cette première série de contaminations, la propagation se poursuit dans le reste du monde suivant la modélisation suivante :

• D'une part, la population contaminée augmente de \(20 \%\) par rapport au jour précédent
• D'autre part, sur ce total, 80000 zombies disparaissent chaque jour
• La population initiale contaminée est celle de la ville étudiée en partie 1 soit 1325000 personnes

On note \(u_{n}\) le nombre de zombies en liberté, en milliers, au bout de \(n\) jours. On a donc \(u_{0}=1325\).

1. Justifier que tant que la propagation se poursuit on a \(u_{n+1}=1,2 u_{n}-80\).
2. Calculer \(u_{1}, u_{2}\).
3. On estime que la situation devient critique lorsque la population contaminée devient supérieure à 15 millions et on considère l'algorithme ci-contre.
   a. Compléter les pointillés pour que cet algorithme permette de déterminer le nombre de jours nécessaires pour que la situation devienne critique.
   b. Quel résultat sera affiché en sortie ?

\(\mathrm{U} \leftarrow \ldots \ldots \ldots .\).
\(\mathrm{N} \leftarrow 0\)
Tant que

\(\_\_\_\_\)

    U prend la valeur
    N prend la valeur N+1
Fin Tant_que
Afficher N

1. On estime à 30 jours le temps nécessaire afin d'aboutir à la mise en place d'un premier vaccin. On cherche la valeur \(c\) (arrondie au millier) du nombre minimal de personnes (en milliers) à mettre en quarantaine chaque jour pour pouvoir tenir ce délai sans que plus de \(10 \%\) de la population totale des Etats-Unis ( 325000000 de personnes environ ) soit contaminée.
   a. Montrer que \(u_{30}=1,2^{30} \times u_{0}-(c+80) \times\left(1+1,2+1,2^{2}+\cdots+1,2^{29}\right)\)
   b. En déduire la valeur arrondie au millier de \(c\).

Ces conseils, sous cet habillage très particulier du ministère de la santé des États-Unis, mettent en lumière tous les bons réflexes à avoir en cas de problèmes majeurs pour la santé publique comme une épidémie, une catastrophe naturelle, etc.