Exercice 2 — L'encombrement familial

Sujet

Dans un repère orthonormé ( \(O ; I, J\) ) du plan, on considère le carré \(0 I K J\).
À toute figure \(F_{0}\) incluse dans le carré \(0 I K J\) et « en contact » avec ses quatre côtés on définit sa famille ( \(F_{0} ; F_{1} ; F_{2} ; F_{3} ; \ldots\) ) de sorte que pour tout entier naturel \(n\) :

• \(\quad F_{n+1}\) est une réduction de \(F_{n}\) de rapport 0,5 .
• \(\quad F_{n+1}\) et \(F_{n}\) ont la même « orientation ».
• \(\quad F_{n+1}\) est située à droite de \(F_{n}\) et au-dessus de l'axe des abscisses.
• \(\quad F_{n+1}\) est en contact avec \(F_{n}\) et l'axe des abscisses.
  

On appelle encombrement familial de \(F_{0}\) le plus petit réel \(k>0\) tel que la droite d'équation \(x=k\) soit « à droite» de toutes les figures \(F_{n}\), c'est-à-dire tel que toutes les abscisses \(x_{M}\) des points \(M\) des figures \(F_{n}\) vérifient \(x_{M} \leq k\).

On pourra utiliser les résultats suivants :

• On peut rendre \(0,5^{n}\) aussi proche de 0 pour \(n\) suffisamment grand

Par exemple, \(0,5^{n}\) peut être inférieur à 0,01 car \(0,5^{7}<0,01\). De même \(0,5^{n}\) peut être inférieur à \(10^{-8}\) car \(0,5^{27}<10^{-8}\).

• Pour tout réel \(q \neq 1\) et tout entier naturel n, \(1+q+q^{2}+\cdots+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).

1. Encombrement familial du carré unité

Dans cette question \(F_{0}\) est le carré \(O I K J\). Notons \(E\) son encombrement familial. On peut remarquer que les points les plus à droite de la figure \(F_{1}\) ont pour abscisse 1,5.
a. Quelle est l'abscisse des points les plus à droite de la figure \(F_{2}\) ?
b. Justifier que \(E \geq 1,75\).

c. Montrer que les points les plus à droite du carré \(F_{n}\) ont pour abscisse \(2-0,5^{n}\).

En déduire que \(\leq 2\).
d. Sachant que l'algorithme ci-contre se termine, quelle est la valeur de la variable \(n\) à la fin de son exécution ?
Que peut-on en déduire pour \(E\) ?

\[ \mathrm{n} \leftarrow 0 \]

Tant que \(2-0,5^{n} \leq 1,9999\)

\[ n \leftarrow n+1 \]

Fintantque
e. Montrer que \(E=2\).

2. Encadrement de l'encombrement familial

a. Montrer que quelle que soit la figure \(F_{0}\), son encombrement familial \(E\) vérifie \(1 \leq E \leq 2\).
b. Représenter une figure \(F_{0}\) pour laquelle on a \(E=1\).

3. Encombrement familial du cercle

Dans cette question \(F_{0}\) est le cercle tangent aux côtés du carré \(O I K J\).
Notons \(E\) l'encombrement familial du cercle \(F_{0}\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(x_{n}\) l'abscisse du centre du cercle \(F_{n}\).
a. Montrer que pour tout \(n \geq 1, x_{n}-x_{n-1}=\sqrt{2} \times 0,5^{n}\).
b. Calculer \(E\).