Exercice 1 — les nombres circonflexes

Sujet

Un entier \(n\) à trois chiffres s'écrit \(n=100 \times a+10 \times b+c\), avec \(a, b, c\) trois entiers tels que \(1 \leq a \leq 9,0 \leq b \leq 9\) et \(0 \leq c \leq 9\).
Un tel entier est circonflexe si le chiffre du milieu est strictement plus grand que les deux autres chiffres, c'est-à-dire \(b>\max (a, c)\).

1. Pour chacun des nombres suivants, préciser s'il est circonflexe : 123 ; 192 ; 244 ; 444.
2. Parmi les nombres à trois chiffres,
   a. Quel est le plus petit circonflexe ?
   b. Quel est le plus grand circonflexe ?
   c. Quel est le plus petit non circonflexe ?
   d. Quel est le plus grand non circonflexe ?
3. Pour un entier \(n\) strictement positif, on note \(n \% 10\) le reste dans la division euclidienne de \(n\) par 10 .

Pour \(n=123\), calculer :
a. \(u=n \% 10\);
b. \(v=\left(\frac{n-u}{10}\right) \% 10\)
c. \(w=\frac{n-10 v-}{100}\)
4. Même question avec \(n=456\). Commenter.
5. Dans le tableau de droite est rédigé un algorithme. Expliquer le rôle de chaque variable introduite. À quoi sert cet algorithme ?
6. \(\boldsymbol{a}\). Parmi les nombres à trois chiffres, combien y-a-t-il de nombres circonflexes dont le chiffre du milieu est 1 ? même question avec 2 ? avec 3 ? et avec 9 ?
b. Parmi les nombres à trois chiffres, combien sont circonflexes ?
c. On prend au hasard un nombre entre 0 et 999 (bornes autorisées).

Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre à trois chiffres et circonflexe ?
7. Pour chacune des deux phrases, décider si elle est vraie ou fausse.

\[ N=0 \]

Pour \(n\) de 100 à 999 faire

\[ \begin{aligned} & c=n \% 10 \\ & b=\left(\frac{n-c}{10}\right) \% 10 \\ & a=\frac{n-10 b-}{100} \\ & \text { Si } b>\max (a, c) \end{aligned} \]

alors

\[ N=N+1 \]

Afficher \(N\)
a. Si \(n\) est un entier circonflexe compris entre 100 et 499, alors \(2 n\) est encore un entier circonflexe.
b. Si \(n\) est un entier circonflexe compris entre 100 et 900 , alors \(1000-n\) est encore un entier circonflexe.
8. Montrer que l'entier 579 n'est pas la différence de deux nombres circonflexes à trois chiffres. Donner un autre exemple de tel nombre.
9. Montrer que 579 est le plus petit entier à trois chiffres qui n'est pas la différence de deux nombres circonflexes à trois chiffres.