Exercice 3 — Un dé baladeur

Sujet

On considère un damier dont les dimensions ne sont pas limitées.

Un dé à six faces est placé sur l'une des cases de ce damier. Il se déplace en roulant d'une face sur l'autre.

Définition : on dira que le dé vaut \(n\), avec \(n \in\{1,2,3,4,5,6\}\), si \(n\) est le nombre de points sur la face du dessus du dé.

Convention : on conviendra que le dé peut rouler vers la droite, vers la gauche, vers l'avant ou vers l'arrière.
Exemple : dans la figure ci-dessus le dé vaut 1.
S'il roule une fois vers la gauche, il vaudra 2 . S'il roule une fois vers l'arrière il vaudra 3.
Propriété du dé : la somme du nombre de points de deux faces opposées est toujours égale à 7.
Dans tout l'exercice, la position initiale du dé sera celle de la figure ci-dessus.

1. a. Quelles sont successivement les douze premières valeurs du dé, si on le fait rouler vers la droite ? Que constate-t-on ?
   b. Construire un algorithme qui permette d'afficher la somme des \(n\) premières valeurs du dé avec \(n\) comme entrée, si on le fait rouler vers la droite.
2. On fait rouler successivement le dé sur quatre cases vers la droite, l'avant, la gauche puis l'arrière, pour qu'il revienne à sa case de départ. Combien doit-il faire de tours pour qu'il reprenne la valeur 1 sur la case de départ ?
3. On considère un carré de \(n\) cases de côté. La case de départ est celle qui est repérée en haut à gauche. Le dé parcourt, en roulant d'abord vers la droite, puis vers le bas, le chemin constitué par les cases en bordure de carré.
   a. Montrer que si \(n\) est pair alors la valeur du dé dans la case diagonalement opposée à la case de départ est 4 ou 3 .

On admet que si \(n\) est pair et que le dé parcourt, depuis la case de départ, le carré dans l'autre sens (d'abord vers le bas, puis vers la droite), alors la valeur du dé dans la case diagonalement opposée à la case de départ est 5 ou 2 .

Par conséquent, dans le cas où n est pair, selon que le dé parcourt le carré dans le sens direct ou dans le sens des aiguilles d'une montre, la valeur du dé sera différente sur la case diagonalement opposée à la case de départ.
b. Montrer que, si \(n\) est impair, la valeur du dé dans la case associée au sommet diagonalement opposé à la case de départ est 1 .
c. Quelle condition \(n\) doit-il vérifier pour que le dé retrouve une valeur égale à 1 sur sa case de départ après un tour?