Exercice 1 — Les mots de passe

Sujet

A - Un résultat préliminaire

Soient \(a, b\) et \(c\) trois réels tels que \(\neq 0\).
On considère l'équation du second degré \(\boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}=\mathbf{0}\), d'inconnue \(x\).

1. Démontrer que si cette équation admet deux solutions distinctes, alors leur produit est égal à \(\frac{c}{a}\).
2. Démontrer que si \(a\) et \(c\) sont de signes différents alors l'équation admet deux solutions distinctes de signes différents.

B - Extraction de décimales

1. Soit \(x\) un nombre réel.

On appelle partie entière de \(x\) l'unique entier \(n\) tel que \(n \leq x On note alors \(E(x)\) cet entier \(n\).
Par exemple \(E(\sqrt{2})=1\) et \(E(100 \sqrt{2})=141\).
a. Donner \(E(10 \pi), 10 E(10 \pi)\) puis \(E(100 \pi-10 E(10 \pi))\).
b. Vérifier que \(E(1000 \pi-10 E(100 \pi))=1\).
c. Calculer \(E\left(10^{k} \pi-10 E\left(10^{k-1} \pi\right)\right)\) pour l'entier \(k=6\).
2. On considère la fonction \(B\) qui, à un réel \(x\) associe le bloc des six chiffres qui suivent la virgule dans l'écriture décimale de \(x\) affichée par la calculatrice.
Par exemple \(B(\sqrt{2})=414213\) et \(B(1,05)=050000\).
a. Donner \(B(\pi)\).
b. À l'aide de la question 1 , écrire un algorithme permettant d'obtenir \(B(x)\) à chaque saisie de \(x\) par un utilisateur.

C - La fonction « Password»

L'administrateur d'un site internet a créé un petit algorithme utilisant la fonction \(B\) précédente afin de générer automatiquement le mot de passe d'un utilisateur en fonction de sa date de naissance.

Pour la suite, \(j\) désigne le jour, \(m\) le mois et \(a\) l'année de naissance de l'utilisateur.

1. On considère l'équation (E) : \(j x^{2}+m x+1890-a=0\).

Démontrer que, compte tenu des valeurs possibles pour \(j, m\) et \(a\), cette équation admet deux solutions distinctes de signes différents. On notera, par la suite, \(r(j, m, a)\) la solution positive de cette équation.
2. On considère la fonction suivante :

Fonction Password( \(j, m, a\) )
    \(r \leftarrow r(j, m, a))\)
    Renvoyer( \(B(r)\) )

a. Que renvoie la fonction Password pour Mileva qui est née le 19 juin 1974 ?
b. Justifier que cette fonction permet toujours d'obtenir un mot de passe.
c. L'administrateur a décidé, pour des raisons de sécurité, que le mot de passe 000000 est interdit.

• Zinedine est né le \(1^{\text {er }}\) décembre 1998. Vérifier que, dans ce cas, la fonction Password donne le mot de passe interdit.
• Albert, qui n'est pas encore centenaire, a son anniversaire le fameux « Pi Day », c'est à dire le 14 mars. Sachant que la fonction Password lui attribue le mot de passe interdit, combien de bougies va-t-il souffler cette année ?