Sujet
Dans cet exercice on s'intéresse aux nombres entiers qui sont des carrés parfaits dont le chiffre des unités est égal à 9 : 9, 49, 169, ..., 1369, ...
On note \(E\) la liste rangée par ordre croissant de ces carrés.
- Quel est le nombre suivant 1369 dans la liste \(E\) ?
- Soit \(a=b^{2}\) le carré d'un entier naturel \(b\).
a. Quel doit-être le chiffre des unités de \(b\) pour que \(a\) soit un nombre de la liste \(E\) ?
b. En déduire que les éléments de \(E\) sont les entiers qui peuvent s'écrire sous la forme \((10 d+u)^{2}\) où \(d\) est un entier naturel et \(u \in\{3,7\}\).
c. Quel est le \(2018^{\mathrm{e}}\) nombre de la liste \(E\) ?
- Démontrer que la différence entre deux nombres successifs de la liste \(E\) est un multiple de 40 . Est-ce vrai pour la différence entre deux nombres quelconques de la liste \(E\) ?
- On prend au hasard un nombre parmi les 2018 premiers nombres de la liste \(E\).
a. Quelle est la probabilité \(p_{1}\) qu'il se termine par 19 ?
b. Quelle est la probabilité \(p_{2}\) qu'il se termine par 69 ?
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