Olympiades · Académie Bordeaux · 2018 · Toutes séries
\[ a \leq b \text { et } 2018=a^{2}+b^{2} . \]
a. Justifier que \(a \leq 31\).
b. Démontrer que si \(a\) et \(b\) sont pairs alors \(a^{2}+b^{2}\) est un multiple de 4 .
c. Démontrer que \(a\) et \(b\) ne peuvent pas être de parités différentes. Que peut-on en déduire pour \(a\) et \(b\) ?
d. Quels sont les chiffres des unités possibles pour le carré d'un entier naturel impair ? En déduire que le chiffre des unités de \(a\) ne peut-être ni 1 , ni 5 , ni 9 .
2. Déterminer tous les couples \((a, b)\) d'entiers naturels tels que \(2018=a^{2}+b^{2}\).
\[ N=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \text { et } 4 N-(a+b)^{3}=3(a+b)(a-b)^{2} \]
b. En déduire que \(N\) possède un diviseur \(d\) tel que \(N \leq d^{3} \leq 4 N\).
c. Existe-t-il deux entiers naturels \(a\) et \(b\) tels que \(2018=a^{3}+b^{3}\) ? On rappelle que 1009 est un nombre premier.
2. Dans cette question \(N=62558\).
a. Vérifier que \(N\) est un multiple de 2018 .
b. On suppose qu'il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) tels que \(N=a^{3}+b^{3}\). Quelles sont les valeurs de \(a+b\) et \(a^{2}-a b+b^{2}\) ?
c. Déterminer tous les couples \((a, b)\) d'entiers naturels tels que \(62558=a^{3}+b^{3}\).
3. Ecrire un algorithme qui permet de montrer que 62558 est le plus petit multiple de 2018 qui peut s'écrire comme somme de deux cubes d'entiers naturels non nuls.
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