Exercice 1 — coloriage sous contrainte

Sujet

Sur un tableau noir, on a écrit la liste des entiers compris entre 1 et \(2 n\) où \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On souhaite colorier chaque nombre en bleu ou en rouge en respectant les deux contraintes suivantes :
(1) Il y a autant de nombres coloriés en bleu que de nombres coloriés en rouge.
(2) La somme des nombres coloriés en bleu est le double de celle des nombres coloriés en rouge. Par exemple, pour \(n=3\), on a une solution en coloriant 3,5 et 6 en bleu et \(1,2,4\) en rouge.

1. Etude de cas particuliers
   a. Etudier le cas où \(n=1\).
   b. Démontrer que le coloriage est impossible lorsque \(n=2\).
   c. Dans cette question, on suppose que \(n=4\) et on désigne par \(S\) la somme des entiers qui doivent être coloriés en rouge. Calculer la valeur de S . En déduire un coloriage possible dans ce cas.
   d. Etudier les cas \(n=5\) et \(n=6\).
2. Rappel : pour tout entier naturel non nul \(n\), la somme des entiers compris entre 1 et \(n\) est égale à \(\frac{1}{2} n(n+1)\). On suppose que \(n \geq 2\) et on désigne par \(E\) l'ensemble des entiers qui peuvent s'écrire sous la forme d'une somme de \(n\) entiers naturels distincts compris entre 1 et \(2 n\). On note \(a_{n}\) le plus petit élément de \(E\) et \(b_{n}\) le plus grand élément de \(E\).
   a. Justifier que \(a_{n}=\frac{1}{2} n(n+1)\).
   b. Exprimer \(b_{n}\) en fonction de \(n\) et \(a_{n}\).
   c. Soit \(q\) un entier tel que \(0 \leq q

Démontrer que \(a_{n}+q n\) est un élément de \(E\).
En déduire que \(a_{n}+q n+1, a_{n}+q n+2, \ldots, a_{n}+q n+n\) sont des éléments de \(E\).
\(\boldsymbol{d}\). En déduire que \(E\) est l'ensemble des entiers compris entre \(a_{n}\) et \(b_{n}\).
3. On note \(S\) la somme des entiers qui doivent être coloriés en rouge. En désignant par \(k\) le quotient et par \(r\) le reste de la division euclidienne de \(n\) par 3, on a \(n=3 k+r\) et \(0 \leq r<3\).
a. Exprimer \(S\) en fonction de \(n\).
b. Démontrer que si \(r=2\) alors le coloriage est impossible.
c. Qu'en est-il lorsque \(r=0\) ou \(r=1\) ?
4. Décrire un coloriage possible pour les entiers compris entre 1 et 2018.