Exercice 1 — Un jeu à croquer

Sujet

Deux personnes disposent d'une tablette de chocolat rectangulaire, divisée en carrés, dont le carré en bas à gauche contient du piment très fort. Ils se lancent un défi et décident de croquer dans la tablette de chocolat chacun leur tour selon la règle suivante : à chaque tour, un joueur choisit l'un des carrés et le mange, ainsi que tous les carrés situés au-dessus et à droite de ce carré. Le joueur qui se retrouve obligé de manger le carré pimenté perd la partie.
On donne ci-dessous le déroulement des quatre premières étapes du défi avec une tablette de taille \(8 \times 5\) ( 8 lignes et 5 colonnes). Le carré pimenté est en position ( 1,1 ). La personne qui croque en premier dans la tablette est dénommée « joueur 1 ».

On se demande si l'un des joueurs peut forcer la victoire avec une stratégie gagnante, c'est-à-dire si l'un des joueurs, avant même de commencer à croquer dans la tablette, peut être sûr de gagner quels que soient les choix de son adversaire.

Partie A - Quelques cas particuliers

1. Existe-t-il une stratégie gagnante pour le joueur 1 avec une tablette de taille \(1 \times 1\) (tablette avec un seul carré) ?
2. Qu'en est-il pour une tablette à une seule ligne ? à une seule colonne ?

Partie B - Cas d'une tablette de chocolat carrée

On veut montrer dans cette partie que, dans le cas d'une tablette carrée, le joueur 1 peut forcer la victoire.
3. Donner une stratégie gagnante pour le joueur 1 dans le cas d'une tablette carrée \(2 \times 2\).
4. Donner une stratégie gagnante pour le joueur 1 dans le cas d'une tablette carrée \(3 \times 3\).
5. Élaborer une stratégie gagnante pour le joueur 1 dans le cas d'une tablette de chocolat carrée \(n \times n\), où \(n\) est un nombre entier quelconque supérieur ou égal à 2 .

Partie C - Cas général

On considère une tablette avec \(n\) lignes et \(p\) colonnes, \(n\) et \(p\) étant des nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 .
6. Montrer qu'il existe une stratégie gagnante pour le joueur 1. On pourra raisonner par l'absurde en supposant que le joueur 2 peut forcer la victoire et que le joueur 1 mange le carré \((p, n)\) au premier tour de jeu.