Exercice 2 — Systèmes

Sujet

Série S

On souhaite résoudre le système suivant :

\[ \text { (S) } \quad\left\{\begin{array}{c} a+b+c=1 \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=2 \end{array}\right. \]

On pose \(\sigma_{1}=a+b+c\)

\[ \begin{aligned} & \sigma_{2}=a b+a c+b c \\ & \sigma_{3}=a b c \end{aligned} \]

1. Démontrer que le système ( S ) équivaut au système ( \(\mathrm{S}^{\prime}\) ) suivant : \(\left\{\begin{array}{c}\sigma_{1}=1 \\ \sigma_{2}=\sigma_{3} \\ \sigma_{1}{ }^{2}-2 \sigma_{2}=2\end{array}\right.\)
2. Soit ( \(a ; b ; c\) ) solution de (S).
   a. Déterminer les valeurs de \(\sigma_{1}, \sigma_{2}\) et \(\sigma_{3}\).
   b. On pose \(p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\).

Démontrer que \(p(x)=x^{3}-x^{2}-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}\)
c. Développer \((x-1)\left(x^{2}-\frac{1}{2}\right)\).
d. En déduire les triplets ( \(a ; b ; c)\) solutions de (S).