Exercice 1 — \(\boldsymbol{k}\)-sommes

Sujet

Série S

On dit que deux entiers naturels impairs \(a\) et \(b\), dans cet ordre, sont consécutifs si : \(b=a+2\)
Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 2 .
Une \(k\)-somme est la somme de \(k\) entiers naturels impairs consécutifs.
Par exemple, 24 est une 4 -somme, car : \(24=3+5+7+9\)
I. a. Quels sont les entiers compris entre 1 et 20 qui peuvent être écrits comme une 2 -somme ?
b. 2018 peut-il être écrit comme une 2 -somme ?
c. Quels sont les entiers qui peuvent s'écrire comme la somme de deux entiers naturels impairs consécutifs ?
2. a. 2018 peut-il être écrit comme une 3 -somme ?
b. Montrer que les entiers qui peuvent être écrit comme une 3 -somme sont de la forme \(9+6 n\), où \(n\) est un entier naturel.
3. a. 2018 peut-il être écrit comme une 4 -somme ?
b. Quels sont les entiers qui peuvent être écrit comme une 4 -somme ?
4. a. Somme des \(n\) premiers entiers naturels impairs

On rappelle que, pour tout entier naturel \(n\) non nul :

\[ 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]

En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul :

\[ 1+3+5+\ldots+(2 n-1)=n^{2} \]

b. On rappelle que \(k\) est un entier supérieur ou égal à 2 .

Montrer que la somme de \(k\) entiers naturels impairs consécutifs peut être écrite comme le produit de \(k\) par un entier \(m\) supérieur ou égal à \(k\) et de même parité que \(k\).

Deux entiers sont de même parité si et seulement si ils sont tous les deux pairs ou tous les deux impairs.
c. On rappelle qu'un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Un nombre premier peut-il être écrit comme une somme de plusieurs entiers naturels impairs consécutifs ?
d. Écrire 2000 de toutes les façons possibles comme produit de deux entiers \(k\) et \(m\) de même parité, avec \(m\) supérieur ou égal à \(k\).
e. Quels sont les entiers \(k\) pour lesquels 2000 peut être écrit comme une \(k\)-somme ?