Exercice 4 — quelques paradoxes mathématiques

Sujet

A. Les dés de Miwin

Ces trois dés équilibrés portent les chiffres suivants sur leurs faces :

Règles du jeu:

dé B: 1, 3, 4, 5, 8, 9
dé C: 2, 3, 4, 6, 7, 8
dé A
: \(1,2,5,6,7,9\)
dé B: 1, 3, 4, 5, 8, 9 de

Deux joueurs s'affrontent. Chaque joueur choisit un dé différent et le lance. Le gagnant est celui qui a obtenu le plus grand chiffre. Il y a match nul si les deux dés affichent le même chiffre.
On dira que le dé A est meilleur que le dé B si la probabilité que A remporte la partie contre B est strictement supérieure à la probabilité que B remporte la partie contre A .

1. On lance les dés A et B simultanément.

On note «A → B » l'événement "A l'emporte sur B", «B \(\rightarrow A\) »
l'événement " B l'emporte sur A" et « \(\mathrm{A}=\mathrm{B}\) » l'événement "match nul".
Recopier et compléter le tableau ci-contre et démontrer que le dé A est meilleur que le dé B .
2. On lance le dé B et le dé C simultanément. Montrer que le dé B est meilleur que le dé \(C\).
3. Un joueur observateur remarque que le dé A est meilleur que le dé B, que le dé B est meilleur que le dé C. Il choisit naturellement de jouer avec le

dé \(B\)	1	2	5	6	7	9
1
3
4
5
8
9

dé A et est certain d'avoir choisi un dé meilleur que les dés B et C.
Montrer qu'il a tort.

B. Le paradoxe de Simpson

1. Un professeur de mathématiques propose, dans un cours sur les probabilités, l'expérience suivante :

On place des bonbons rouges (au goût excellent) et des bonbons blancs (au goût horrible) dans deux boîtes. Les bonbons sont indiscernables au toucher, les boîtes sont opaques, mais on sait précisément combien de bonbons de chaque sorte elles contiennent.
a. Première expérience, avec les boîtes A 1 et B 1 dont le contenu est donné ci-contre. On doit choisir un bonbon au hasard dans l'une des deux boîtes. Quelle boîte donne les meilleures chances d'obtenir un bonbon rouge excellent?
b. On fait la même expérience, mais avec de nouvelles boîtes. Quelle boîte donne les meilleures chances d'obtenir un bonbon rouge ?
c. Le professeur réunit alors le contenu des boîtes A1 et A2 dans une boîte A3, des boîtes B1 et B2 dans une boîte B3 et pose la même question : faut-il choisir la boîte A3 ou la boîte B3 ?
Le professeur interroge un élève qui, sans faire de calcul affirme qu'il faut choisir la boite B3. Quel a pu être le raisonnement de cet élève?
e. Vérifier par un calcul s'il faut choisir la boîte A3 ou la boîte B3. Ce résultat est-il en accord avec le raisonnement de l'élève ?

	Boîte A1	Boîte B1
Bonbons rouges	1	5
Bonbons blancs	2	5
	Boîte A2	Boîte B2
Bonbons rouges	8	6
Bonbons blancs	3	2

Ce phénomène étonnant est appelé « paradoxe de Simpson »

1. Un élève astucieux tente de renouveler l'expérience en réduisant au minimum le nombre de bonbons dans les boites B1 et B2 tout en conservant la proportion de bonbons rouges.
   Observe-t-on le paradoxe de Simpson avec ces nouvelles boîtes ?