Exercice 3 — construction d'un jeu de cartes

Sujet

Manon et Julien veulent construire un jeu de cartes respectant les règles suivantes :

• \(\quad R_{1}\) : «Sur chaque carte sont dessinés \(n\) symboles différents »
• \(\quad R_{2}\) : «Deux cartes distinctes ont toujours un et un seul symbole en commun»
• \(\quad R_{3}\) : «Aucun symbole n'est commun à toutes les cartes »
• \(\quad R_{4}\) : « Chaque symbole doit apparaître sur au moins deux cartes »

Pour jouer, on présente deux cartes et le premier qui identifie le symbole commun à ces deux cartes remporte le pli.
On appellera « carte 1 », « carte 2 », ..., « carte c » les c cartes constituant le jeu, et on notera « a », « b », « c », ... les différents symboles utilisés.

1. Pour commencer, ils envisagent de réaliser un jeu simplifié qui ne contient que 3 cartes. Manon prétend qu'en dessinant 2 symboles sur chaque carte, 3 symboles différents en tout sont suffisants. Proposer un tel jeu en donnant pour chaque carte les symboles qui y sont dessinés.
2. Ils veulent maintenant réaliser un jeu de 7 cartes, dans lequel chaque symbole n'est partagé que par une seule paire de cartes.
   a. Justifier qu'une carte de ce jeu doit contenir 6 symboles.
   b. Combien de symboles différents seront nécessaires ?
   c. Avec 55 symboles différents, de combien de cartes le jeu aurait-il été constitué ?
3. N'étant pas satisfaits du résultat, ils tentent de construire un jeu de 7 cartes contenant chacune 3 symboles et rajoutent la règle suivante :
   \(R_{5}\) : «Chaque symbole apparaît sur 3 cartes exactement» Justifier qu'un tel jeu nécessite 7 symboles distincts.
4. Après plusieurs essais, Julien décide de positionner les cartes comme sur la figure ci-contre et commence à remplir le tableau suivant :

\(\boldsymbol{a}\). Quel est le principe suivant lequel il a commencé à écrire des

symboles sur certaines cartes ?
b. Compléter le tableau en poursuivant suivant le même principe.
c. En ajoutant un dernier symbole « g » sur 3 cartes, il arrive à créer un tel jeu. Compléter ainsi le tableau.
5. Ils ont réussi à construire un jeu de 57 cartes dans lequel chaque carte comporte 8 symboles et où chaque symbole apparaît sur 8 cartes différentes.
Ils ont malencontreusement perdu deux cartes. Combien y a-t-il de symboles qui n'apparaissent que 7 fois ?
6. Pour réussir la construction d'un tel jeu, ils avaient généralisé la règle \(\mathrm{R}_{5}\) qui est alors devenue : «Chaque symbole apparaît sur n cartes exactement ». On utilisera les notations suivantes :

• c le nombre de cartes.
• \(n\) le nombre de symboles par carte (qui est aussi le nombre de cartes où apparaît un symbole donné).
• \(s\) le nombre de symboles différents utilisés dans le jeu.
• \(N\) le nombre total de symboles apparaissant dans le jeu.
  a. En comptant de deux manières différentes le nombre total de symboles dans le jeu, démontrer qu'il y a le même nombre de cartes que de symboles différents dans le jeu.
  b. Démontrer que pour tout entier naturel \(k, 1+2+\ldots+k=\frac{k(k+1)}{2}\)
  c. Combien de paires distinctes peut-on réaliser avec les c cartes du jeu ?
  d. Avec les \(n\) cartes ayant un symbole commun, combien de paires peut-on réaliser ? Établir que \(c=n(n-1)+1\)