Exercice 1 — découpe de plaques d'acier

Sujet

Série S

L'atelier de métallerie d'un chantier naval découpe des pièces de formes diverses dans des plaques d'acier carrées qu'il commande au laminoir.
Pour limiter les pertes de matière et donc les coûts de production, le chef d'atelier doit déterminer au préalable la taille des plaques carrées qu'il doit commander en fonction des pièces à découper.
Il arrive pour certaines commandes, que seules la forme et la surface des pièces à découper leurs soient transmises.
Dans chacune des trois parties suivantes on étudie la découpe de certains types de pièces.
Ces parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
On arrondira au besoin les longueurs au mm près, et les surfaces au cm² près.

Partie 1 : Découpe de pièces triangulaires

L'atelier doit produire une pièce qui a la forme d'un triangle équilatéral d'une surface de \(20 \mathrm{~m}^{2}\).
Le chef d'atelier envisage deux solutions de découpe comme illustré sur les schémas suivants :

Schéma \(\mathrm{n}^{\circ} 1\)

On note \(a\) le côté du triangle et c le côté du carré.

Schéma \(\mathrm{n^{\circ} 2\)}

1. Schéma \(n^{\circ} 1\) :
   a. Exprimer la hauteur \(h\) du triangle en fonction de \(a\).
   b. En déduire le côté \(a\) du carré à construire pour respecter les contraintes.
   c. Calculer la surface d'acier perdue avec cette méthode.
2. Schéma \(n^{\circ} 2\) :
   a. Justifier que l'angle \(\widehat{B A E}\) mesure \(15^{\circ}\).
   b. En déduire le côté c du carré qu'il doit commander.
   c. Calculer la surface d'acier perdue avec cette méthode.
   d. Quel est le pourcentage d'acier gagné par rapport à la première proposition de découpe ?