Sujet
Didon et son ami Énée participent à une randonnée. Arrêts déduits, le groupe a marché 4,5 heures et parcouru 28 km .
- Quelle est la moyenne horaire réalisée pendant cette randonnée ?
Didon a observé que, pendant chaque heure de marche continue, le groupe a parcouru 6 km .
2. Comment est-ce possible ?
On pourra utiliser un graphique.
À l'issue de la randonnée, Énée et son amie Didon se retrouvent au bord d'une route empruntée par une ligne de bus. «On rentre en bus », dit Énée. Mais quel est
l'arrêt le plus proche ? Les deux amis se séparent. Enée choisit l'arrêt situé en amont, et marche à la vitesse de \(6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). Didon marche vers l'arrêt aval, à la vitesse de \(4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). Le bus effectue le parcours à la vitesse moyenne de \(60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). Les deux amis arrivent chacun à son arrêt exactement en même temps que le bus.
3. Qui avait raison ?
Séries autres que S
- La moyenne horaire est : \(v=\frac{28}{4,5}\)
Arrondie au mètre, cette vitesse moyenne est donc \(6,222 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).
2. On place dans un repère les points de coordonnées \((4,5 ; 28),(3,5 ; 22),(2,5 ; 16),(1,5 ; 10),(0,5 ; 4)\) par lesquels passe nécessairement la courbe représentant la distance parcourue en fonction de la durée de parcours (on procède par retour arrière).
Cette courbe passe aussi par les points de coordonnées ( \(0 ; 0\) ), ( \(1 ; 6\) ), ( \(2 ; 12\) ), ( \(3 ; 18\) ), ( \(4 ; 24\) ).
La courbe réalisée en joignant les points successifs par
des segments de droite répond au problème. On vérifie en effet que la translation de vecteur \(\vec{u}=\left(1, \frac{28}{4,5}\right)\) transporte tout point de la courbe d'abscisse inférieure à 3,5 en un autre point de la courbe.
Cette courbe ne représente pas la seule solution du problème.
3. Appelons \(x\) la distance à parcourir pour Énée et \(y\) la distance à parcourir pour Didon. Écrivons que le temps qu'il faut à Didon pour atteindre l'arrêt aval est le même que celui qu'il faut à Énée pour atteindre l'arrêt amont, prendre le bus (ce qu'on suppose instantané) et arriver en bus jusqu'à l'arrêt aval :
\[ \frac{y}{4}=\frac{x}{6}+\frac{x+y}{60} \]
Ce qui conduit à \(14 y=11 x\)
La distance à parcourir pour Didon était la plus courte (ce qui n'a pas empêché Énée d'être le premier dans le bus).
\end{document}