Sujet
On considère un rectangle \(A B C D\). On appelle I le milieu du côté [BC] et J le troisième sommet du triangle équilatéral de côté [AI], I et J étant situés de part et d'autre de la droite (CD).
La droite (IJ) coupe la droite (CD) en N et la droite (AB) en P. La droite (AJ) coupe la droite (CD) en M .
On fait I'hypothèse que M est le milieu du segment [AJ].
La figure donnée ci-contre n'est donc pas juste.
- Quelle fraction de l'aire totale du triangle AIJ représente l'aire de la
partie M AIN située à l'intérieur du rectangle ABCD ? - Quel est le rapport \(\frac{A B}{A D}\) des côtés du rectangle \(A B C D\) ?
- La droite (M N), parallèle à (AP) et passant par le milieu M de [AJ], est la « droite des milieux » du triangle JAP. Le triangle JM N a donc une aire égale au quart de l'aire de JAP.
[0pt] N étant le milieu de [JP], la médiane [AN] du triangle JAP détermine deux triangles d'aire égale à la moitié de l'aire de JAP, les triangles JAN et NAP.
[0pt] I est le milieu de [NP], les triangles NAI et PAI ont donc la même aire.
Le triangle JAP est donc partagé en quatre triangles de même aire, un constitue la partie du triangle AIJ extérieure au rectangle, deux
la partie intérieure.
La fraction demandée est donc \(\frac{2}{3}\). - Appelons \(a, b, c\) et \(d\) les longueurs \(\mathrm{AB}, \mathrm{AD}, \mathrm{DM}\) et NC.
L'égalité \(2 \mathrm{MN}=\mathrm{AP}\) s'écrit, compte tenu de l'égalité entre NC et BP c(symétrie de centre I) :
\(2(a-d-c)=a+d\), d'où on tire \(a=3 d+2 c\).
On calcule de trois manières différentes la longueur du côté du triangle équilatéral :
\(\mathrm{AI}^{2}=a^{2}+\frac{b^{2}}{4}\) d'une part (triangle AIB ), \(\frac{\mathrm{AI}^{2}}{4}=b^{2}+c^{2}\) (triangle ADM ), \(\frac{\mathrm{AI}^{2}}{9}=d^{2}+\frac{b^{2}}{4}\) (triangle CNI )
On a donc:
\(a^{2}+\frac{b^{2}}{4}=4 b^{2}+4 c^{2}=9 d^{2}+9 \frac{b^{2}}{4}\)
D'où le système : \(\left\{\begin{array}{l}4 c^{2}=a^{2}-\frac{15}{4} b^{2} \\ 9 d^{2}=a^{2}-2 b^{2}\end{array}\right.\), qui fournit \(\left\{\begin{array}{l}2 c=\sqrt{a^{2}-\frac{15}{4} b^{2}} \\ 3 d=\sqrt{a^{2}-2 b^{2}}\end{array}\right.\)
Et comme \(a=3 d+2 c\), on parvient à la condition nécessaire \(a=\sqrt{a^{2}-\frac{15}{4} b^{2}}+\sqrt{a^{2}-2 b^{2}}\).
On peut poser \(=\frac{a}{b}\). L'équation \(x=\sqrt{x^{2}-\frac{15}{4}}+\sqrt{x^{2}-2}\) peut s'écrire d'abord \(\left(x-\sqrt{x^{2}-2}\right)^{2}=x^{2}-\frac{15}{4}\), c'est-à-dire \(x^{2}-2 x \sqrt{x^{2}-2}+\frac{7}{4}=0\), puis \(4 x^{2}\left(x^{2}-2\right)=x^{4}+\frac{7}{2} x^{2}+\frac{49}{16}\), et finalement:
\(48 x^{4}-184 x^{2}-49=0\), dont la solution positive (unique) est \(\frac{7}{2 \sqrt{3}}\).
Finalement, les rectangles pour lesquels la situation prise comme hypothèse se produit ont un rapport \(\frac{\text { Longueur }}{\text { largeur }}\) égal à \(\frac{7}{2 \sqrt{3}}\). Ce nombre est légèrement supérieur à 2 (mais ce n'est pas une raison pour croire qu'il est égal à 2 ).
N.B. Il existe d'autres façons de conduire ces calculs peut-être plus aisément, l'une consiste à utiliser le côté du triangle équilatéral comme variable principale et à exprimer les autres distances en fonction d'elle.