Exercice 3 — Parachute Série ???

Sujet

Des parachutistes choisissent d'atterrir au milieu d'une forêt au point A à 10 km à l'Ouest d'une source \(S\).
Du point A partent deux sentiers rectilignes \(S_{1}\) et \(S_{2}\).
Le sentier \(S_{1}\), représenté par la demi-droite [Au), est orienté vers le SudEst et l'angle \(\widehat{\mathrm{SA}} u\) mesure \(30^{\circ}\).
Le sentier \(S_{2}\), représenté par la demi-droite [Av), est dirigé vers le NordEst et l'angle \(\widehat{\mathrm{SA} v}\) mesure \(45^{\circ}\).
Sur le sentier \(S_{1}\), les parachutistes peuvent avancer à la vitesse maximale de \(8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) et sur le sentier \(S_{2}\) à la vitesse maximale de \(12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).

Dans la forêt, leur progression est limitée à \(4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).

Partie A - Recherche de la zone de la forêt atteinte en 1 heure de marche

1. La figure 1 (sur feuille annexe) reproduit la carte ( 1 cm pour 1 km ). Placer le point B du sentier \(S_{1}\) le plus éloigné du point A que les parachutistes peuvent atteindre en 1 heure de marche.
2. Des parcours particuliers, selon plusieurs hypothèses
   a) Parcours 1 - On suppose qu'un parachutiste, partant de A, décide de marcher pendant une heure de façon rectiligne sans revenir sur ses pas, sans changer de direction et à vitesse maximale.
   Représenter en couleur sur la figure 1 l'ensemble \(R\) des arrivées possibles.
   b) Parcours 2 - On suppose qu'un autre parachutiste, partant de A , emprunte le chemin \(S_{1}\) pendant 30 minutes puis décide de quitter le chemin, et d'entrer dans la forêt en marchant pendant 30 minutes de façon rectiligne, sans revenir sur ses pas, sans changer de direction.
   Représenter avec une autre couleur, sur la figure 1, l'ensemble des arrivées possibles.
   c) Un troisième parachutiste marche sur le sentier \(S_{1}\) durant un quart d'heure seulement avant d'entrer dans la forêt et d'y marcher 45 minutes.
   Représenter avec une troisième couleur sur la figure 1 l'ensemble des arrivées possibles.
3. Le chef du groupe des parachutistes, passionné de mathématiques, souhaite déterminer le point E du segment [AS] le plus éloigné de A pouvant être atteint en une heure, en marchant sur le sentier \(S_{1}\) ou dans la forêt.
   [0pt] a) Un parachutiste peut-il atteindre un point du segment [AS] distant de A de plus de 4 km ? Expliquer.

Le chef des parachutistes considère un point K , situé dans l'ensemble \(R\) (question 2.a)), tel que ABK soit un triangle rectangle en K.
b) Construire un tel point K sur la figure 2 (feuille annexe) ; justifier la construction.
[0pt] c) Démontrer qu'un parachutiste peut atteindre tout point du segment [BK].
d) En déduire le point E cherché, en donner la construction.
4) Si un parachutiste, partant du point A, utilise l'un ou l'autre des sentiers \(S_{1}\) ou \(S_{2}\), représenter la zone de la forêt qu'il peut atteindre en une heure de marche. Construire cet ensemble sur une nouvelle figure (échelle identique : 1 cm pour 1 km ) que l'on tracera sur la copie. Expliquer les étapes de la construction.

Partie B - Atteindre la source \(S\)

Deux des parachutistes partent du point A et veulent se désaltérer.
L'un affirme pouvoir atteindre la source S en moins de 2 h 12 minutes ; l'autre affirme qu'il faut au moins 2 h 12 minutes.
Lequel des deux a raison ? Justifier.