Sujet
Toutes séries et série S
Le jeu Tectonic est un jeu de grille, un peu comme le sudoku.Une grille de Tectonic a neuf cases disposées en trois lignes et trois colonnes ; elle est composée de zones de \(\mathbf{1}\) à \(\mathbf{5}\) cases entourées de traits gras. L'objectif est de compléter la grille avec les chiffres manquants sachant que :
- Une zone d'une case contient forcément le chiffre 1 , une zone de deux cases contient exactement les chiffres 1 et 2 , et ainsi de suite \(\ldots\), une zone de 5 cases contient exactement les chiffres \(1,2,3,4\) et 5.
Grille \(\mathrm{n^{\circ} 1\)}
- Deux chiffres identiques ne peuvent être placés dans deux cases ayant en commun un côté ou un sommet.
Partie 1 : Des exemples
- Reproduire et compléter la grille \(\mathrm{n}^{\circ} 1\) ci-contre en respectant les règles du Tectonic.
- Proposer une solution pour la grille 2 ci-contre. Est-ce la seule ?
Pour la suite, vous pouvez si vous le souhaitez (ce n'est pas une obligation) désigner les cases par A1, A2, etc. selon le schéma ci-contre (le 4 occupe la case A2).
3) a. Expliquer pourquoi il n'y a pas de solution pour la grille \(\mathrm{n}^{\circ} 3\) ci-contre.
b. Qu'en est-il des grilles \(n^{\circ} 4\) et \(n^{\circ} 5\) ci-dessous ?
Grille \(\mathrm{n^{\circ} 4\)}
Grille \(\mathrm{n^{\circ} 5\)}
Grille \(\mathrm{n^{\circ} 3\)}
On appelle grille possible une grille pour laquelle il existe des solutions.
Ainsi la grille \(\mathrm{n}^{\circ} 2\) est une grille possible et la grille \(\mathrm{n}^{\circ} 3\) n'est pas une grille possible. On cherche désormais les grilles possibles que l’on peut fabriquer à partir la grille de base ci-contre. On cherche donc quels sont les traits épais que l’on peut ajouter.
Toutes les grilles présentées auparavant ont été construites de cette façon.
Grille de base
Partie 2 : Des grilles dont la plus grande zone comporte 4 cases.
de On cherche les grilles possibles que l'on peut fabriquer à partir de la grille de base et dont la plus grande zone comporte 4 cases.- Expliquer pourquoi le nombre écrit dans le carré central (en B2) doit être un 4.
- Expliquer pourquoi les grilles possibles comportent exclusivement, en plus de la zone se réduisant à la case A1, une zone de 4 cases, une zone de 3 cases et une zone de 1 case.
- Il y a exactement six grilles possibles fabriquées à partir de la grille de base et comportant une zone de 4 cases. Tracer ces six grilles et proposer une solution pour chacune d'elle.
Toutes séries et série S
Partie 1 : des exemples
- Une seule place pour le 1 dans zone de cinq cases : C2 ; d'où une seule place pour le 1 dans la zone de trois cases ; dans cette zone, le 3 est fixé ; d' où une seule position pour le 3 dans la zone de 5 cases.
Le 4 et le 5 peuvent permuter.
| 1 | 3 | 2 |
| 4 | 5 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
| 1 | 3 | 2 |
| 5 | 4 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
Il y a deux solutions.
2) Le 1 en C1 est évident ; puis en C3, seule possibilité ; d'où en A3, idem ; puis le 2 en B3.
Dans la zone de cinq cases, une seule possibilité pour le 2, en B1.
Dans cette zone 3, 4, 5 peuvent permuter.
Il y a six solutions.
| 1 | 2 | 1 |
| 3 | 4 | 5 |
| 1 | 2 | 1 |
| 1 | 2 | 1 |
| 3 | 5 | 4 |
| 1 | 2 | 1 |
| 1 | 2 | 1 |
| 4 | 3 | 5 |
| 1 | 2 | 1 |
| 1 | 2 | 1 |
| 4 | 5 | 3 |
| 1 | 2 | 1 |
| 1 | 2 | 1 |
| 5 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 1 |
| 1 | 2 | 1 |
| 5 | 4 | 3 |
| 1 | 2 | 1 |
- a) Le 1 n'a qu'une possibilité pour la zone de quatre cases contenant déjà le 2, en C 1 ; dans cette zone 3 et 4 occupent A 2 et B 2 ou inversement. Mais alors le 4 (ou respectivement le 3 ) ne peuvent être placés dans l'autre zone de quatre cases.
b) Premier cas :
Le 2 n'étant plus spécifié, il peut être en A2, B2 seulement car le 1 de la même zone est nécessairement en C1
Par exemple, le 2 en A2, le même raisonnement pour 3 et 4 qu'au a) invalide
la possibilité.
Ou bien le 2 en B2, c'est alors le 2 qui ne peut pas être placé dans la seconde zone de quatre cases.
Deuxième cas :
Le 1 dans la zone a une seule case. Dans celle de quatre cases, il est nécessairement en A3 et en C3 pour la zone de quatre cases.
La case centrale ne peut pas contenir 2 ou 3 (seraient adjacents à l'un de la zone de trois cases), c'est donc 4 dans cette case.
2 et 3 occupant les autres cases en veillant à la règle de proximité.
Il y a deux solutions.
| 1 | 2 | 1 |
| 3 | 4 | 3 |
| 1 | 2 | 1 |
| 1 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 1 | 3 | 1 |
Partie B - Atteindre la source \(\boldsymbol{S
\)}- Deux solutions reposant sur la linéarité par rapport à la durée; l'ensemble des points atteints en une durée \(t(t>0)\) se déduit en effet de celui atteint en une heure par un agrandissement-réduction dans le rapport \(t\). de la sorte, le point Z de [AS) atteint en la durée \(t\) vérifie \(A Z=t . A E\) (E est le poipnt dela partie A).
(i) Comme \(\frac{A S}{A E}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}\), ce nombre, en durée, est inférieur à 2 h 10. La réponse est celle du premier parachutiste.
(ii) Comme \(\frac{A S}{A M}=10(\sqrt{3}-2 \sqrt{2})\), ce nombre, en durée, est inférieur à 2 h 12. La réponse est celle du premier parachutiste. - Deux solutions reposant sur un calcul de la durée pour atteindre le point S . On observe sur la figure donnant l'ensemble des points atteints en une heure (et à partir de la linéarité par rapport à la durée) que les meilleurs parcours pour atteindre S sont certainement par le sentier \(S_{1}\). Dès lors :
(i) Soit \(x\) la distance parcourue sur le sentier \(S_{1}\), on note \(d_{1}(x)\) la durée pour atteindre le point S en marchant \(x\) kilomètres sur le sentier \(S_{1}\) jusqu'au point T puis le reste en ligne droite dans la forêt jusqu'à \(S\).
La configuration est :
Avec U projeté orthogonal de S sur \(S_{1}\) : \(U S=5\) et \(A U=5 \sqrt{3}\).
On obtient : \(d_{1}(x)=\frac{x}{8}+\frac{\sqrt{x^{2}-10 \sqrt{3} x+100}}{4}\); il s'agit d'en obtenir le minimum :
- Soit en «tabulant». La réponse est celle du premier parachutiste.
- Soit par étude de variation.
N.B. : ce calcul peut reposer sur le théorème d' Al Kashi.
(ii) Soit l'angle \(\widehat{U T S}\), la durée \(f(t)\) pour atteindre \(\mathrm{S}: f(t)=\frac{5 \sqrt{3}}{8}+\frac{5}{8}\left(\frac{2}{\sin t}-\frac{1}{\tan t}\right)\); à nouveau, on « tabule» ou bien on étudie une variation.
(iii) La durée optimale est exactement \(\frac{5 \sqrt{3}}{4}\), à peu près 2 heures 9 minutes 54 secondes.