Exercice 1 — Promenades parallèles Toutes séries et

Sujet

Partie A - pour tous les candidats : Dans le triangle

On considère un triangle ABC . P est un point du segment \([\mathrm{BC}]\) non

confondu avec B et C.
M est un point mobile qui se déplace à l'intérieur du triangle.
M part du point P .
M effectue un premier déplacement parallèlement à la droite (AC) jusqu'au point Q de \([\mathrm{AB}]\), puis un deuxième déplacement parallèlement à la droite (BC) jusqu'au point R de [AC] et ainsi de suite.
La figure ci-contre donne une ébauche du début du parcours du point M : de P à Q, puis R, puis S, puis T, puis U …

1. a) Tracer un triangle ABC quelconque. Placer le point P de \([\mathrm{BC}]\) tel que \(\mathrm{BP}=15 \mathrm{BC}\). Représenter les six premiers déplacements rectilignes du point \(M\).
   b) Tracer un nouveau triangle ABC quelconque. Placer le point P de \([\mathrm{BC}]\) tel que \(\mathrm{BP}=13 \mathrm{BC}\). Représenter les six premiers déplacements rectilignes du point M .
2. Après six déplacements rectilignes, le point \(M\) semble rejoindre sa position initiale. Existe-t-il une position initiale P pour laquelle M rejoint sa position initiale en moins de six déplacements ? Justifier la réponse.
3. a) Démontrer que le point \(M\) rejoint sa position initiale après six déplacements dans le cas illustré par la figure donnée (ci-dessus) où BP \(=14 \mathrm{BC}\)
   b) Peut-on généraliser cette démonstration quelle que soit la position du point \(P\) ?
   c) Après 2017 déplacements, où se trouve le point \(M\) ?

On appelle désormais trajet du point \(\mathbf{M}\) les six premiers déplacements rectilignes du point M .
4) On appelle \(p p\) le périmètre du triangle ABC .

Déterminer en fonction de \(p p\) l'expression de la longueur du trajet du point \(\mathbf{M}\).
Partie B - pour les candidats élèves de la série S. uniquement : Atteindre la cible ?
On considère un triangle équilatéral ABC de côté 1 .
On place une cible circulaire de rayon \(r r\) et de centre 0 , point d'intersection des médiatrices du triangle ; le cercle bord de la cible fait partie de la cible.

1. Dans cette question \(P\) est le point de \([B C]\) tel que \(B P=15 B C\).
   a) Si \(r r=110\), est ce que le point M rencontre la cible au cours de son trajet ? Justifier.
   b) Quelle est la valeur minimale du rayon \(r r\) pour laquelle le point M rencontre la cible au cours de son trajet?
   
2. Dans cette question, \(P\) est un point de [BC], non confondu avec B et C, que l'on choisit au hasard.

Déterminer en fonction de r la probabilité que le point \(M\) rencontre la cible au cours de \(s\)