Exercice 9 — Jeux de stratégie

Sujet

Asmaa et Benjamin jouent à un jeu dont voici les règles :
Un nombre entier \(N\) supérieur ou égal à 3 est donné.
Chacun annonce à son tour un nombre entier compris entre 1 et \(N, 1\) et \(N\) compris.

• Règle 1 : Un joueur ne peut pas réutiliser un nombre entier qui a déjà été annoncé par lui-même ou par son adversaire ;
• Règle 2 : Un joueur ne peut pas annoncer un nombre entier inférieur ou supérieur de 1 à un nombre qu'il a déjà annoncé lui-même lors de cette partie.
  La partie s'arrête lorsque :
• Tous les nombres entiers compris entre 1 et \(N\) ont été annoncés et la partie est alors déclarée nulle ;
• Il reste des nombres entiers non annoncés mais le joueur qui a la main ne peut pas les annoncer à cause de la seconde règle. Ce joueur a alors perdu la partie.
  C'est toujours Asmaa qui commence à jouer. On pourra noter A pour Asmaa et B pour Benjamin.
  Par exemple : \(\mathrm{N}=6\) :

Un exemple de partie nulle :
A annonce 3 ;
Bannonce 2;
A annonce 5;
Bannonce 4 ;
A annonce 1;
B annonce 6 ; Égalité.

Un exemple de partie où A perd :
A annonce 3 ;
Bannonce 1;
A annonce 6;
B annonce 5 ;
A ne peut annoncer ni 2, ni 4; A a perdu.

On étudie dans la suite quelques situations. On prendra garde au fait que, par exemple, « ne pas perdre» signifie gagner ou faire partie nulle. On rappelle que c'est toujours Asmaa qui commence.

1. Pour \(N=3\), donner un exemple de stratégie gagnante pour Benjamin (c'est-à-dire telle que Benjamin gagne quoi que joue Asmaa).
2. On s'intéresse au cas où \(N=4\).
   a. Proposer un exemple de partie que Benjamin gagne.
   b. Étude du jeu
   (i) Asmaa dit : « Je joue 1 et, je ne peux pas perdre». Pourquoi ?
   (ii) Asmaa commence par 2, alors Benjamin dit : « Je vais gagner ! ». Quelle est la stratégie de Benjamin ?
   (iii) Asmaa peut-elle, en jouant bien, être sûre de gagner ?
3. Donner un exemple de partie nulle pour un entier \(N\) quelconque supérieur ou égal à 3 .
4. On s'intéresse au cas où \(N=5\).
   a. Asmaa commence par annoncer 5 . Montrer qu'en jouant 1 , Benjamin gagne à coup sûr.
   b. En déduire que, pour \(N=5\), quel que soit le nombre choisi par Asmaa au premier coup, il existe un nombre que Benjamin peut choisir au deuxième coup pour être certain de gagner.
5. On s'intéresse au cas où \(N=7\), le jeu commence par A : 1 puis B : 7. Donner une stratégie gagnante pour Benjamin.
6. On suppose que \(N\) est impair, et on pose \(N=2 p-1\). Asmaa joue un entier \(m\), différent de \(p\). Benjamin joue \(2 p-m\). Il pense gagner en jouant systématiquement par la suite le complément à \(2 p\) du dernier choix d'Asmaa.
   A-t-il raison?