Sujet
On donne \(n\) points distincts \(A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots A_{n}\) disposés sur un cercle. En reliant deux à deux ces points, puis en coupant selon les traits, on détermine des « morceaux de lune» (surface délimitée par un arc de cercle et la corde qui le soustend) et des « morceaux polygonaux», comme autant de pièces d'un puzzle. Pour l'étude qui suit, on suppose que trois cordes ne concourent jamais en un même point intérieur strictement au disque. Les figures ci-dessous représentent les cas \(n=3\), et \(n=4\). Le but de l'exercice est de lier le nombre \(P_{n}\) de pièces créées au nombre \(n\) de points placés sur le cercle.
Hâtons-nous de proclamer un résultat... faux
- Vérifier, en recopiant ces figures, que \(P_{3}=4\) et \(P_{4}=8\).
- a. Faire une figure permettant de trouver la valeur de \(P_{5}\). Quelle est cette valeur ?
b. Quelle est la valeur de \(P_{2}\) ? Quelle valeur attribuer à \(P_{1}\) ?
- Quel résultat imagine-t-on pour \(P_{6}\) ? Faire une nouvelle figure et déterminer \(P_{6}\).
- Est-il possible, dans chacun des exemples précédents, de colorier les pièces en n'utilisant que deux couleurs, deux pièces ayant une frontière commune ne recevant pas la même couleur ? Représenter les coloriages réalisés pour \(n=3, n=4\) et \(n=5\).
Inventaire soigné
- a. Combien peut-on former de couples de points distincts parmi \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) ? Combien de cordes peut-on alors tracer dont les extrémités soient prises parmi les \(n\) points?
b. Montrer que le nombre de triangles dont les sommets sont pris parmi \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) est : \(\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\)
c. On suppose que \(n \geq 4\). Quatre points quelconques pris parmi \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) définissent six cordes dont deux ont un point d'intersection intérieur strictement au disque. Combien y a-t-il de tels points d'intersection? - Dans cette question, on fait le lien entre le nombre de points d'intersection (intérieurs strictement au disque) de deux cordes et le nombre de pièces créées. On dispose les \(n\) points \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) sur le cercle.
a. La figure ci-contre (où \(n=6\) ) illustre l'effet du tracé d'une nouvelle corde (en pointillés) sur le nombre de pièces : si elle a \(k\) points d'intersection (intérieurs strictement au disque) avec les précédentes cordes, combien a-t-on de pièces de plus, en nombre?
b. On commence sans aucune corde, et donc une seule pièce
(ronde). Une première corde ne crée aucun point d'intersection et le nombre de pièces croît de 1 : il vaut 2 (deux morceaux de lune). Où en est-on à la quatrième corde ? À la cinquième ? On pourra poser \(k_{2}, k_{3}\), \(k_{4}, k_{5}\) les nombres de nouvelles intersections apportées par la \(2^{\text {ème }}, \ldots\), la \(5^{\text {ème }}\) corde.
c. Après le tracé de la dernière corde, combien de points d'intersection a-t-on créés en tout ?
d. Conclure finalement que la relation liant le nombre de points et le nombre de pièces est :
Hâtons-nous de proclamer un résultat... faux
- On lit: \(P_{3}=4\) et \(P_{4}=8\)
- a. On compte 16 régions.
b. \(P_{2}=2\). Le disque entier constitue une région : \(P_{1}=1\) - On pense qu'il se pourrait bien que \(P_{6}=32 \ldots\)
... mais on ne compte que 31 régions dans la figure de gauche.
- Coloriages. On observe que les segments circulaires sont de la même couleur lorsque \(n\) est impair, que les couleurs alternent si \(n\) est pair. Les régions dont la corde du segment circulaire est un
côté n'ont pas la même couleur.
Inventaire soigné
- a. Les \(n\) éléments d'un ensemble permettent de constituer \(n^{2}\) couples, dont \(n\) du type ( \(x, x\) ).
Avec \(n^{2}-n\) couples, on fait \(\frac{n^{2}-n}{2}\) paires. C'est le nombre de cordes définies par \(n\) points du cercle.
b. Trois points distincts sont nécessaires pour faire un triangle ; une fois les deux premiers choisis, il reste \(n-2\) possibilités pour choisir le troisième, mais il y a trois façons de procéder pour obtenir un même triangle. D'où le quotient par 3.
c. Cette fois, le produit par \(n-3\) et le quotient par 4 conduisent au nombre de quadrilatères, donc au nombre d'intersections de leurs diagonales : \(\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\).
6. a. \(k\) points d'intersection déterminent \(k+1\) nouvelles régions (sur la figure, il y a quatre points d'intersection qui, avec \(A_{4}\) et \(A_{6}\), sont les extrémités de 5 segments, nouvelles frontières tracées au sein des cinq régions traversées).
b. Chaque nouvelle corde crée au moins une nouvelle région (cas où elle ne rencontre aucune autre corde) ou une nouvelle région de
\(A_{1}\) |  |  |  |  |