Exercice 6 — Le fabricant de puzzles

Sujet

Pièces toutes carrées

Un fabricant de puzzles étudie la conception d'un puzzle carré dont les pièces seraient elles-mêmes toutes des carrés - de dimensions diverses si nécessaire - dont les côtés resteraient parallèles aux côtés du carré initial.

Les puzzles représentés ci-contre comportent respectivement 8 et 13 pièces carrées. On se demande pour quelles valeurs de \(n\) entier non nul on peut créer un puzzle constitué de \(n\) pièces carrées, les pièces pouvant être de dimensions différentes.

1. Représenter des puzzles aux spécifications voulues comportant \(4,6,7,9\) puis 10 pièces carrées.
2. Pour tout entier \(n\), montrer que si on peut créer un puzzle du carré constitué de \(n\) pièces carrées, alors on peut en créer un de \(n+3\) pièces carrées.
3. En déduire que, pour tout entier \(k\), on peut créer un puzzle constitué de \(1+3 k\) pièces carrées.
4. Montrer que, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 , on peut créer un puzzle constitué de \(3 k\) pièces carrées.
5. Déterminer finalement l'ensemble des entiers \(n\) pour lesquels on peut créer un puzzle constitué de \(n\) pièces carrées.

Pièces en forme de triangles isocèles

On imagine à présent des puzzles carrés constitués de triangles tous isocèles (pas nécessairement identiques).
6. Montrer que, pour tout entier \(n\) strictement supérieur à 1 , on peut concevoir un puzzle carré constitué de \(n\) triangles rectangles isocèles.
7. Concevoir deux puzzles distincts constitués chacun de sept pièces en forme de triangles isocèles non rectangles.
8. Proposer un procédé aboutissant à un puzzle constitué de 2017 pièces en forme de triangles isocèles non rectangles. On pourra remarquer, en le justifiant, qu'un triangle isocèle peut toujours être découpé en \(n^{2}\) triangles isocèles, \(n\) entier non nul.