Exercice 5 — De racines en carrés

Sujet

La partie entière d'un nombre est le plus grand entier inférieur ou égal à ce nombre. La partie entière d'un nombre réel \(x\) se note \(E(x)\). Par exemple \(E(4)=4\) et \(E(4,3)=4\). On notera que, lorsque \(x\) n'est pas un entier, on a toujours \(E(x)

On dit d'un entier naturel qu'il est un carré parfait s'il est le carré d'un autre entier.
On souhaite étudier l'algorithme suivant : on considère un nombre \(N\), entier strictement positif différent d'un carré parfait. On lui ajoute la partie entière de sa racine carrée, puis on recommence avec le résultat obtenu. Et ainsi de suite jusqu'à tomber éventuellement sur un carré parfait.

1. En partant de \(N=38\), on obtient successivement \(44,50,57\) puis 64 . Justifier ces résultats.
2. Quel est le premier carré obtenu en partant du nombre 26 ? Celui obtenu en partant du nombre 69 ? D'où partir pour aboutir à 9 ?
3. Soit \(N\) un entier strictement positif différent d'un carré parfait. On note systématiquement \(n=E(\sqrt{N})\) dans la suite du problème. On pose : \(a=N-n^{2}\).
   Montrer que \(a\) vérifie : \(0
4. Dans cette question, on étudie le cas des entiers \(N\) pour lesquels \(1 \leq a \leq n\). On se donne un entier \(N\) vérifiant cette double inégalité, et on nomme \(N_{1}, N_{2}, N_{3}, \ldots, N_{p}\) les nombres obtenus après une, deux, \(\ldots p\) étapes de l'algorithme décrit plus haut à supposer qu'il n'a pas encore terminé.
   a. Justifier que \(N_{1}=n^{2}+n+a\).
   b. Montrer que \(N_{2}=(n+1)^{2}+(a-1)\).
   c. Que peut-on en déduire si \(a=1\) ?
   d. Si \(a \neq 1\), montrer que \(N_{4}=(n+2)^{2}+(a-2)\). Que peut-on en déduire si \(a=2\) ?
   e. Conclure que, dans tous les cas où \(1 \leq a \leq n\), l'algorithme termine.
5. Soit un entier \(N\) pour lequel \(n+1 \leq a \leq 2 n\). Montrer que \(N_{1}=(n+1)^{2}+(a-n-1)\).
6. Démontrer que le processus termine toujours.
7. a. De tous les entiers inférieurs ou égaux à 15 et différents d'un carré parfait, quel est celui qui nécessite le plus d'étapes pour arriver au premier carré ?
   b. Même question pour les entiers inférieurs ou égaux à 99.

On pourra proposer une solution algorithmique, dont on recopiera le programme implanté sur la calculatrice (la fonction partie entière peut y être désignée par les commandes int( ) ou floor ( )).