Exercice 4 — Saute, saute, sauterelle

Sujet

Quatre sauterelles sont placées sur un plan. À chaque seconde, une (et une seule) quelconque d'entre elles saute audessus d'une autre selon la règle suivante : si la sauterelle placée en A saute au-dessus de la sauterelle placée en B, elle atterrit au point A', symétrique de A par rapport à B.
On représente la situation en utilisant un repère orthonormé ( \(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}\) ). Au départ, les quatre sauterelles occupent les sommets - tous à coordonnées entières - d'un carré de côté 1 .

1. Pour chacun des cas suivants, indiquer un exemple de configuration initiale possible en y associant une liste de sauts possibles (l'ordre alphabétique des lettres \(\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}\) ne préjuge pas de leur disposition initiale).

a. il y a eu deux sauts	b. il y a eu quatre sauts	c. il y a eu quatre sauts	d. il y a eu quatre sauts

1. a. Est-il possible que les quatre sauterelles soient, au bout d'un certain nombre de sauts, toutes sur le même point?
   b. Est-il possible qu'après un certain nombre de sauts les quatre sauterelles se trouvent sur quatre points alignés?
   c. Est-il possible que trois sauterelles soient, au bout d'un certain nombre de sauts, sur le même point ?
2. a. Est-il possible qu'après un certain nombre de sauts les sauterelles forment à nouveau un carré ? Donner un exemple.
   b. Montrer qu'un tel carré a nécessairement pour côté 1 .
3. On suppose que les positions de départ sont les points dont les couples de coordonnées sont \((0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\). On dira qu'une sauterelle est de type PP si ses deux coordonnées sont des entiers pairs, de type PI si son abscisse est paire et son ordonnée impaire, de type IP si son abscisse est impaire et son ordonnée paire, et de type II si ses deux coordonnées sont impaires.
   a. Prouver qu'à tout instant les sauterelles se trouvent sur des points à coordonnées entières, et que chacune a conservé son type initial.
   b. Est-il possible que trois des sauterelles soient à une même distance de la quatrième ?
   c. Prouver que l'on n'aura jamais trois sauterelles alignées.