Exercice 1 — Sommes de carrés en abyme

Sujet

On considère la fonction \(f\) définie sur l'ensemble des entiers naturels non nuls, qui à tout entier naturel non nul associe la somme des carrés des chiffres de son écriture décimale.
Ainsi, par exemple, \(f(5)=5^{2}=25, f(29)=2^{2}+9^{2}=85, f(132)=1^{2}+3^{2}+2^{2}=14\).

Introduction

1. a. Calculer \(f(1), f(11)\) et \(f(111)\). Démontrer que tout entier naturel non nul admet au moins un antécédent par \(f\).
   b. Calculer \(f(23), f(32)\) et \(f(320)\).
   c. Démontrer que tout entier naturel non nul admet une infinité d'antécédents par \(f\).

La suite des images successives d'un entier

Étant donné un entier naturel non nul \(u_{0}\), on considère la suite de nombres définie par \(u_{0}\) et par ses images successives par \(f\) notées \(u_{1}=f\left(u_{0}\right), u_{2}=f\left(u_{1}\right), \ldots, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\), etc.
2. Calculer les cinq premiers nombres de cette liste pour \(u_{0}=301\), puis pour \(u_{0}=23\) et pour \(u_{0}=1030\). Que peut-on en déduire pour les termes suivants de chacune de ces trois listes?
3. Calculer les nombres \(u_{0}, u_{1}, u_{2}, \ldots u_{8}\) pour \(u_{0}=4\).

Quels sont les nombres suivants de la liste dans ce cas ?

Étude d'une propriété

On souhaite démontrer la propriété suivante, notée \(\mathcal{P}\) dans la suite du problème :
Si \(u_{0}\) est un entier non nul :

• soit, il existe un rang \(N\) tel que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(N, u_{n}=1\).
• soit, il existe un rang \(M\) tel que \(u_{M}=4\), et les termes suivants sont alors \(16,37,58,89,145,42,20,4, \ldots\)

On dit dans ce cas que la suite est périodique, de période 8, à partir du rang \(M\).
On dispose de l'algorithme ci-contre.
4. a. Qu'affiche cet algorithme lorsque l'on saisit en entrée la valeur \(u=42\) ?
b. Justifier que si l'algorithme affiche «propriété vérifiée» pour une valeur \(u\) donnée alors \(u\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\).
c. Comment le programme se comporterait-il si un nombre \(u\) ne vérifiait pas la propriété \(\mathcal{P}\) ?
d. Tous les entiers naturels compris entre 1 et 99 vérifient la propriété \(\mathcal{P}\). Expliquer comment cet algorithme peut permettre de

Variable : \(u\) entier naturel non nul

Entrer \(u\)

Tant que ( \(u \neq 1\) et \(u \neq 4\) )
\(u \leftarrow f(u)\)
Afficher \(u\)
Fin tant que
Afficher « propriété vérifiée » le prouver.

Extension aux écritures à trois chiffres

On souhaite montrer que la propriété \(\mathcal{P}\) s'étend aux entiers naturels non nul \(u_{0}\) s'écrivant avec trois chiffres.
5. Soient \(a, b\) et \(c\) des entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 tels que \(a \neq 0\) et soit \(x=100 a+10 b+c\).
a. Montrer que \(x-f(x) \geq 99+c-c^{2}>0\) et en déduire que \(f(x) \leq x-1\).
b. Si \(u_{0}\) s'écrit avec trois chiffres, montrer qu'il existe un rang \(J\) tel que \(u_{J} \leq 99\). Conclure.

Généralisation

On souhaite montrer que la propriété est vraie pour tout entier naturel non nul \(u_{0}\).
5. a. Montrer que, pour tout entier naturel \(p\) supérieur ou égal à 4, on a : \(81 p<10^{p-1}\).
b. En déduire que, si un terme \(u_{n}\) de la suite s'écrit avec \(p\) chiffres ( \(p \geq 4\) ), alors \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\) s'écrit avec au plus \(p-1\) chiffres.
c. Montrer que pour tout entier \(u_{0}\) il existe un rang \(K\) tel que \(u_{K} \leq 999\). Conclure.