Exercice 4 — Des trinômes

Sujet

Séries autres que S

Nous considérons ici les trinômes de la forme \(x^{2}+b x+c\) avec b et c des entiers dans l'intervalle [1, 2017]. Ils forment un ensemble que l'on notera E.
Pour un trinôme \(T=x^{2}+b x+c\) de l'ensemble E , on notera \(\Delta(T)\) le nombre \(\Delta(T)=b^{2}-4 c\)
Nous dirons qu'un trinôme de l'ensemble E est de type entier si ses racines sont des entiers et de type imaginaire s'il n'a pas de racines réelles.

1. Pour chacun de ces deux trinômes, dire s'il est de type entier ou de type imaginaire.

\[ T 1=x^{2}+5 x+6 \text { et } T 2=x^{2}+x+1 . \]

1. Donner un exemple de trinôme de chaque type qui soit différent de \(T 1\) et de \(T 2\).
2. Y a-t-il des éléments de E qui ne soient ni de type entier, ni de type imaginaire ?
3. Combien existe-t-il de trinômes dans l'ensemble E ?
4. Démontrer que si un entier est pair, alors son carré aussi. Qu'en est-il dans le cas d'un entier impair ?
5. Démontrer qu'un trinôme \(T=x^{2}+b x+c\) de l'ensemble E est de type entier si et seulement si \(\Delta(T)\) est le carré d'un entier.