Exercice 2 — Des trinômes

Sujet

Nous considérons ici les trinômes de la forme \(x^{2}+b x+c\) avec b et c des entiers de l'intervalle [1, 2017]. Ils forment un ensemble que l'on notera E.
Pour un trinôme \(T=x^{2}+b x+c\) de l'ensemble E , on notera \(\Delta(T)\) le nombre \(\Delta(T)=b^{2}-4 c\).
Nous dirons qu'un trinôme de l'ensemble E est de type entier si ses racines sont des entiers et de type imaginaire s'il n'a pas de racines réelles.

1. Donner un exemple de trinôme de chaque type.
2. Y a-t-il des éléments de E qui ne sont ni de type entier, ni de type imaginaire ?
3. Combien existe-t-il de trinômes dans l'ensemble E ?
4. Démontrer que si un entier est pair, alors son carré aussi. Qu'en est-il dans le cas d'un entier impair ?
5. Démontrer qu'un trinôme \(T=x^{2}+b x+c\) de l'ensemble E est de type entier si et seulement si \(\Delta(T)\) est le carré d'un entier.
6. A tout trinôme de type entier \(T=x^{2}+b x+c\), on fait correspondre le trinôme \(T^{\prime}=x^{2}+b^{\prime} x+c^{\prime}\) tel que \(b^{\prime}=b-1-\sqrt{\Delta(T)}\) et \(c^{\prime}=c\).
   (a) Vérifier que par ce processus, le trinôme de type entier \(T=x^{2}+3 x+2\) est transformé en un trinôme de type imaginaire.
   (b) Est-ce que le trinôme de type imaginaire \(T^{\prime}=x^{2}+2 x+2\) peut être obtenu par ce processus à partir d'un trinôme de type entier ?
   (c) Démontrer que par ce processus, si \(T\) est un trinôme de type entier de \(E\), alors \(T^{\prime}\) est un trinôme de type imaginaire de E.
   (d) Est-ce que deux trinômes de type entier de E peuvent donner par ce processus le même trinôme de type imaginaire de E ?
7. Y a-t-il dans E davantage de trinômes de type entier ou de type imaginaire ?