Exercice 1 — Des triangles

Sujet

On considère un triangle ABC non aplati avec \(\mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm}\), un point M du segment \([\mathrm{AB}]\) différent de A et \(x\) un réel positif.
On construit le point P tel que \(\overrightarrow{\mathrm{MP}}=x \overrightarrow{\mathrm{AM}}\) et le point Q comme étant l'intersection entre [AC] et la parallèle à (PC) passant par M .

1. Faire une figure avec \(x=\frac{3}{2}\)
2. Montrer que P appartient à \([\mathrm{AB}]\), à la condition que : \(0 \leq x \leq \frac{10-\mathrm{AM}}{\mathrm{AM}}\)
3. Déterminer la distance AM en fonction de \(x\), pour que \((\mathrm{PQ})\) soit parallèle à \((\mathrm{BC})\).
4. Dans cette question, on se place dans le cas où (PQ) est parallèle à (BC).
   a. Montrer que le rapport de l'aire de APC par l'aire de ABC est \(\frac{1}{x+1}\).
   b. Déterminer l'aire de PQM en fonction de l'aire de AMQ et \(x\).
   c. Quel est le rapport des aires de PQM et ABC ?
   d. Pour quelle valeur de \(x\), l'aire de PQM est-elle maximale et quel est alors le rapport de l'aire de PQM par l'aire de ABC?