Exercice 3 — Elections

Sujet

d'après le problème № 303 du 10 décembre 2002 du M onde.

Séries autres que S

Dans une association de 13 membres on vote pour élire le Président. Trois candidats se présentent : Albert M uda désigné par la lettre A, Bob Sleigh désigné par la lettre B et Côme Hire désigné par la lettre C. Chaque votant indique obligatoirement sur son bulletin de vote les trois lettres A, B, C par ordre de préférence. Par exemple, le bulletin C-A-B signifie que le votant préfère le candidat C au candidat A et préfère le candidat A au candidat B . Lors d'un duel opposant les candidats A et C , ce votant préfèrerait le candidat C , lors d'un duel opposant les candidats B et C , ce votant préfèrerait le candidat C et lors d'un duel opposant les candidats A et B , ce votant préfèrerait le candidat A .

Sur les treize bulletins de vote on constate que le candidat A est élu Président (la lettre A a été écrite plus souvent en première position que les autres lettres) : il a obtenu plus de voix que le candidat B qui a lui-même obtenu plus de voix que le candidat C (la lettre B a été écrite plus souvent en première position que la lettre C).

Il n'y a pas de candidats arrivés à égalité.
M ais le candidat C, mauvais perdant peut-être, fait valoir que c'est lui qui devrait être Président !
En effet, si des duels avaient dû avoir lieu, il aurait été élu car il (le candidat C) aurait obtenu plus de voix que le candidat B ou le candidat A, et que le candidat B aurait obtenu plus de voix que le candidat A.
Nous cherchons à savoir si une telle situation est possible en déterminant le nombre de chaque type de bulletin.

1. Voici deux exemples de répartitions des 13 bulletins.

M ontrer que le cas \(n^{\circ} 1\) respecte les résultats observés. En est-il de même pour le cas \(n^{\circ} 2\) ? Argumenter vos réponses.
2. Ce n'était que deux exemples... Revenons à la situation initiale donnée plus haut.
a) M ontrer que le candidat A a nécessairement obtenu 6 voix.
b) Comment peuvent alors se répartir les voix entre les candidats B et C ?

Type de bulletin	nombre
A-B-C	1
A-C-B	5
B-A-C	0
B-C-A	5
C-A-B	0
C-B-A	2

Exemple 1

Type de bulletin	nombre
A-B-C	1
A-C-B	5
B-A-C	1
B-C-A	4
C-A-B	0
C-B-A	2

Exemple 2

1. On se place dans le cas où l'écart de voix entre les candidats \(A\) et \(B\) est le plus faible.

On note x le nombre de bulletins de type A-B-C, y le nombre de bulletins de type B-A-C et z le nombre de bulletins de type C-A-B.
a) Recopier et compléter le tableau suivant où les nombres seront exprimés en fonction de \(\mathrm{x}, \mathrm{y}\) et z .

Type de bulletin	nombre
A-B-C	\(x\)	\multirow{2}{*}{6 bulletins}
A-C-B
B-A-C		\multirow{2}{*}{}
B-C-A
C-A-B		\multirow{2}{*}{}
C-B-A
Total	13