Exercice 2 — Les liponombres

Sujet

En 1968 Georges Perec a écrit un roman intitulé « La disparition » : pendant 300 pages, l'auteur n'utilise jamais la lettre « e ». Et si on faisait la même chose en mathématiques ?

Un liponombre est un nombre entier naturel qui, quand il est écrit en lettres, n'utilise pas la lettre « e» (on ne tient pas compte des accents).
Ainsi par exemple :
\(\cdot 4,7,100\) et 0 ne sont pas des liponombres
\(\cdot 10,18,23\) et 3000010 sont des liponombres.
Tous les liponombres donnés dans les réponses seront écrits en chiffres.

1. Donner par ordre croissant tous les liponombres inférieurs ou égaux à 100.
2. Pourquoi n'y a-t-il pas de liponombres à trois chiffres ?
3. Y a-t-il des liponombres strictement compris entre 100 et 999999 ? Justifier.
4. Donner, sans justifier, les trois plus grands liponombres inférieurs ou égaux à 1000000000.
5. Déterminer le nombre total de liponombres inférieurs ou égaux à 1000000000
6. Pour tout entier naturel \(n\) on note \(S(n)\) le nombre minimum de termes dont la somme est égale à \(n\), chaque terme de la somme étant un liponombre.
   Par exemple : \(S(3)=1\) car 3 est un liponombre.
   \(S(30)=3\) car \(30=1+1+28\).
   a) Bruno affirme que \(\mathrm{S}(17)=4 \operatorname{car} 17=1+5+1+10\).

Marc lui dit qu'il se trompe et que \(S(17)=3\). Montrer que M arc a raison.
b) Déterminer, en détaillant à chaque fois la somme utilisée, \(\mathrm{S}(100)\) puis \(\mathrm{S}(999\) 999).
7. a) Il n'y a que deux valeurs de \(n\) telles que \(S(n)=n\). Lesquelles ? (On ne demande pas de justifier)
b) Montrer que dans tous les autres cas, on a : S(n) 8. Montrer que \(S(n) \geq 4\) pour \(n\) compris entre 100 et 999999.