Sujet
En couture, avant de se lancer dans la réalisation d'un modèle, il est important de réaliser un patron en décalquant la forme souhaitée sur le tissu augmentée d'une bande de largeur constante, 1 cm , sur tout le pourtour. Ainsi, le tissu ne s'effiloche pas autour de la couture effectuée sur les pointillés et la réalisation est solide.
A partir de formes initiales simples (en pointillés), on étudie le gain en périmètre et le gain en surface des formes augmentées. Ces gains seront calculés en pourcentage par rapport à la forme initiale.
Exemple: Patron d'une manche
PARTIE A : Cas du disque
On dispose d'un disque de diamètre égal à d et on lui rajoute une bande de largeur \(\mathbf{L = 1}\).
Forme initiale
Forme augmentée
- Dans le cas où d vaut 5 :
a) Calculer le périmètre et l'aire du disque initial.
b) Calculer le périmètre et l'aire du disque augmenté.
c) Montrer que le gain en pourcentage quand on passe de la forme initiale à la forme finale pour le périmètre est de \(40 \%\). Quel est le gain en pourcentage pour l'aire? - Pour chacun des cas suivants, la bande est toujours de largeur \(\mathbf{L = 1}\).
Calculer la valeur notée \(\mathbf{d}\) du diamètre du cercle initial pour obtenir :
a) un gain de \(100 \%\) pour le périmètre b) un gain de \(44 \%\) pour l'aire.
3. On considère que le disque initial a pour périmètre la longueur de l'équateur terrestre. On augmente ce périmètre de \(\mathbf{1}\) mètre et on cherche la largeur \(\mathbf{L}\) de la bande correspondante. Pour information, le rayon de la Terre est égal à 6380 km . Parmi les propositions suivantes, une seule est correcte. Justifier votre choix :
a) \(\mathbf{L}\) est environ égale à \(10^{-10}\) mètre
b) Lest environ égale à 2 millimètres
c) \(\mathbf{L}\) est environ égale à \(10^{-6}\) mètre
d) Lest environ égale à 16 centimètres.
PARTIE B : Cas du carré
On dispose d'un carré initial, noté \(A B C D\), de côté cet on lui rajoute une bande de largeur 1.- On propose les configurations ci-contre. Justifier que seule la Figure C respecte les conditions d'un patron de couture.
- Pour la Figure C, exprimer en fonction du côté c les gains en pourcentage pour le
Figure A
Figure B
Figure C
périmètre puis pour l'aire.
3. Pour chacun des cas suivants, calculer la longueur exacte du côté AB du carré initial pour obtenir :
a) un gain de \(10 \%\) pour le périmètre
b) un gain de \(100 \%\) pour l'aire.
Partie A : cas du disque
1.a) Pour le disque initial, le périmètre vaut \(5 \pi\) et l'aire vaut \(6,25 \pi\).
b) Pour le disque final, le périmètre vaut \(7 \pi\) et l'aire vaut \(12,25 \pi\).
c) Le gain en pourcentage pour le périmètre est égal à \(\frac{7 \pi-5 \pi}{5 \pi} \times 100\) soit \(40 \%\).
Le gain en pourcentage pour l'aire vaut \(\frac{12,25 \pi-6,25 \pi}{6,25 \pi} \times 100\) soit \(96 \%\).
2.
a) Le périmètre du disque initial est égal à \(\pi d\) et celui du disque final vaut \(\pi(d+2)\). Le gain pour le périmètre est indépendant du diamètre initial et vaut \(2 \pi\).
En pourcentage, on obtient un gain pour le périmètre de \(\frac{2 \pi}{\pi d} \times 100\) soit encore \(\frac{200}{d}\). Pour avoir un gain de \(100 \%\), on doit avoir un diamètre du disque égal à 2 .
b) L'aire du disque est égale à \(\pi \frac{d^{2}}{4}\) et celle du disque final vaut \(\pi \frac{(d+2)^{2}}{4}\). Le gain pour l'aire est \(\pi(d+1)\).
En pourcentage, on obtient un gain pour l'aire de \(\frac{\pi(d+1)}{\pi \frac{d^{2}}{4}} \times 100\) soit encore \(400 \times \frac{d+1}{d^{2}}\).
Pour avoir un gain de \(44 \%\) on doit avoir l'égalité : \(\frac{d+1}{d^{2}}=\frac{44}{400}\) soit encore \(\frac{d+1}{d^{2}}=\frac{11}{100}\).
On peut remarquer qu'un diamètre du disque initial égal à 10 convient.
Il n'y a pas d'autre solution car l'équation du second degré à résoudre a deux solutions réelles la première est 10 et l'autre est strictement négative.
3. Le périmètre du disque initial est, en kilomètres, \(12760 \pi\). Le périmètre du disque augmenté est, en kilomètres, \((12760+2 L) \pi\) avec L exprimé en kilomètres. L'augmentation est de 1 m , soit \(10^{-3} \mathrm{~km}\), on a, en kilomètres, \(2 L \pi=10^{-3}\) soit \(L \approx 16 \mathrm{~cm}\), ce qui correspond à la réponse d.
Partie B : cas du carré
- La figure \(B\) ne respecte pas les conditions imposées car « autour du point D , il n'y a pas 1 cm de tissu » comme le montre la figure cicontre.Les figures A et C répondent à la contrainte mais la figure A « n'optimise pas la quantité de tissu utilisé ».
- La figure initiale a pour périmètre \(4 c\). Pour obtenir le périmètre de la figure augmentée, on y ajoute la longueur de quatre quarts de cercle de rayon 1 ; son périmètre vaut donc \(4 c+2 \pi\) et le gain pour le périmètre est égal à \(2 \pi\) (comme pour le disque).
Le gain en pourcentage pour le périmètre vaut \(\frac{2 \pi}{4 c} \times 100\) soit \(\frac{50 \pi}{c}\).
Le carré initial ABCD a pour aire \(c^{2}\).
L'aire de la figure augmentée est \(c^{2}+4 \times c \times 1+\pi \times 1^{2}\) et le gain pour l'aire est de \(\pi+4 c\).
Le gain en pourcentage pour l'aire vaut \(\frac{\pi+4 c}{c^{2}} \times 100\).
a) Pour obtenir un gain, pour le périmètre, de \(10 \%\) le carré initial doit mesurer \(5 \pi\).