Sujet
Nous disposons d'une balance composée de deux plateaux. Le plateau de gauche sera appelé plateau \(\mathrm{n}^{\circ} 1\) et le plateau de droite sera appelé plateau \(\mathrm{n}^{\circ} 2\).
On place un objet de masse \(n\) grammes sur le plateau \(n^{\circ} 2\) avec \(n\) un entier positif.
Robert dispose d'une boîte de poids ayant pour masses les puissances de 3 successives : un poids de 1 gramme, un poids de 3 grammes, un poids de 9 grammes, un poids de 27 grammes, ...
- a. On suppose, dans cette question, que \(n=111\) grammes. Quel(s) poids devra placer Robert sur le plateau \(n^{\circ} 1\) pour équilibrer la balance?
b. Trouver les différentes masses \(n\) de l'objet que Robert peut équilibrer à l'aide du plateau \(n^{\circ} 1\) avec les 4 premiers poids de cette boîte. - Écriture ternaire d'un nombre :
Exemple : Considérons le nombre 138.
On opère la division euclidienne de 138 par 3. Le quotient est 46 et le reste est 0 .
On opère la division euclidienne de 46 par 3 . Le quotient est 15 et le reste est 1 .
On réitère le processus tant que le quotient est non nul.
On lit les restes de la droite vers la gauche. Ici, 12010.
L'écriture ternaire de 138 est :
On peut vérifier que \(138=1 \times 3^{4}+2 \times 3^{3}+0 \times 3^{2}+1 \times 3^{1}+0 \times 3^{0}\).
a. Pourquoi Robert ne peut-il pas équilibrer un objet de 138 grammes en plaçant des poids sur le plateau \(\mathrm{n}^{\circ} 1\) ?
b. A quelles conditions sur l'écriture ternaire Robert peut-il équilibrer un objet de \(n\) grammes en plaçant des poids sur le plateau \(\mathrm{n}^{\circ} 1\) ?
c. Démontrer que pour tout \(k\) entier naturel, \(2 \times 3^{k}=3^{k+1}-3^{k}\)
d. En déduire une décomposition en somme de puissances de 3 de 138 n'ayant que des coefficients égaux à - 1,0 et 1. Cette nouvelle écriture ternaire est dite équilibrée.
e. Proposer une méthode pour équilibrer la balance lorsque l'objet a une masse de 138 grammes (on pourra utiliser les deux plateaux).
Valérie dispose d'une boîte de poids ayant pour masses les puissances de 2 successives : un poids de 1 gramme, un poids de 2 grammes, un poids de 4 grammes, un poids de 8 grammes ...
3. a. Sur le plateau \(\mathrm{n}^{\circ} 2\), on a placé un objet de 138 grammes. Vérifier que Valérie peut équilibrer la balance avec sa boîte de poids.
b. On place désormais un objet de 1169 grammes sur le plateau \(\mathrm{n}^{\circ} 2\). Vérifier que Valérie peut équilibrer la balance avec sa boîte de poids.
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