Exercice 1 — Produit de longueurs de cordes

Sujet

Soit n un entier naturel, \(\mathrm{n} \geq 2\).
On trace un polygone régulier à \(n\) sommets, noté \(A_{1} A_{2} A_{3}\).. \(A_{n}\), inscrit dans un cercle de centre 0 et rayon 1 , puis les cordes qui joignent un sommet donné aux n-1 autres. On obtient un éventail de n-1 cordes. Ci-contre on a représenté la situation pour \(\mathrm{n}=30\).

On se propose d'étudier le produit des longueurs des cordes, soit

\[ P_{n}=A_{1} A_{2} \times A_{1} A_{3} \times \ldots \times A_{1} A_{n} . \]

Première Partie - Études de cas particuliers et conjecture
Dans cette partie, on s'intéresse aux cas \(\mathrm{n=3 ; \mathrm{n}=4\) et \(\mathrm{n}=6\).}

Triangle équilatéral \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~A}_{3}\)	Carré \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~A}_{3} \mathrm{~A}_{4}\)	Hexagone \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~A}_{3} \mathrm{~A}_{4} \mathrm{~A}_{5} \mathrm{~A}_{6}\)

1. \(\quad \operatorname{Cas} \mathrm{n}=3\).
   a. Déterminer la nature des triangles \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~B}\) et \(\mathrm{OBA}_{2}\).
   b. Calculer \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}\) puis en déduire la valeur du produit \(\mathrm{P}_{3}=\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \times \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{3}\).
2. \(\operatorname{Cas} \mathrm{n}=4\).
   a. Calculer dans ce cas la longueur \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}\).
   b. En déduire la valeur du produit \(\mathrm{P}_{4}=\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \times \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{3} \times \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{4}\).
3. Cas \(\mathrm{n}=6\).

Démontrer que \(\mathrm{P}_{6}=6\) (On pourra utiliser les résultats de la question 1).
4. Quelle conjecture peut-on faire concernant la valeur de \(\mathrm{P}_{\mathrm{n}}\) ?

Deuxième partie - Le cas de l'octogone et de l'hexadécagone

Pour chacune des questions, on fera apparaître les traces de recherche même infructueuses.
On pourra utiliser, si nécessaire, les résultats suivants :

\[ \cos ^{2}(\theta)=\frac{1+\cos (2 \theta)}{2} ; \sin ^{2}(\theta)=\frac{1-\cos (2 \theta)}{2} \]

1. La conjecture est-elle vérifiée dans le cas de l'octogone ( \(\mathrm{n}=8\) ) ?
2. La conjecture est-elle vérifiée dans le cas de l'hexadécagone \((\mathrm{n}=16)\) ?