Exercice 1 — Les nombres chanceux

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On considère la suite des nombres entiers strictement positifs : 12345678910111213141516 17....
1 est un nombre chanceux, et les autres nombres chanceux sont ceux qui vont « survivre » aux éliminationa suivantes :

• Première étape : on élimine un nombre sur deux, en partant de 1 (les nombres barrés sont éliminés) :

1

-2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

|| reste 1357911131517 19...
Après 1 , le premier nombre non éliminé est 3 . II est chanceux, et on élimine un nombre sur trois à l'étape suivante.

• Deuxième étape : On élimine un nombre sur trois, en partant de 1.

1

3

\(-5^{-}\)

7

9

\(-11^{-}\)

13

15

\(-17^{-}\)

Après 3, le premier nombre non éliminé est 7. II est chanceux. On élimine ensuite, toujours en partant de 1, un nombre sur 7. Et ainsi de suite.

1. Déterminer tous les nombres chanceux inférieurs ou égaux à 100.
2. On rappelle qu'un nombre premier est un nombre entier naturel, différent de 0 et de 1 , qui n'admet comme diviseurs que 1 et lui-même. On a vu que 3 et 7 sont chanceux et premiers, alors que 6 n'est ni premier ni chanceux. Tous les nombres premiers ( 1 exclu) sont-ils chanceux ?
3. 2016 et 2018 sont-ils des nombres chanceux?
4. Existe-t-il deux nombres consécutifs chanceux?
5. Lors de la deuxième étape, on élimine, parmi les nombres restants, un nombre sur trois. Le premier nombre éliminé pendant cette étape est 5.
   a. Justifier que, si \(x\) est un nombre chanceux, alors il existe nécessairement un nombre entier \(k\) tel que \(x=2 k+1\).
   b. On donne un nombre entier \(n\). M ontrer que si \(n\) est éliminé lors de cette deuxième étape, alors il existe un entier \(p\) tel que \(n=6 p+5\).
   c. 2017 sera-t-il exclu pendant cette étape ?
   d. Expliquer que les nombres qui restent après cette étape sont répartis de la façon suivante : en partant de 1 , on ajoute successivement 2 puis 4 pour obtenir les nombres restants.
6. On propose l'algorithme ci-contre :
   a. Faire tourner l'algorithme à la main pour \(N=15\), en complétant le tableau suivant, et en indiquant les valeurs de \(n\) affichées par l'algorithme.

\(i\)		2	3	4
\(n\)	1	3
\(i\)
\(n\)

b. A quoi sert cet algorithme?

Les questions suivantes seront à traiter uniquement pour les élèves de la filière \(S\).

Algorithme :
Variables : \(n, i\) : nombres entiers positifs ;
N : nombre entier supérieur ou égal à 2 .
Début
\(n=1\)
Saisir \(N\)
Pour \(i=2\) à \(N\) faire
Si \(i\) est pair faire
\(n \leftarrow n+2\)
sinon
\(n \leftarrow n+4\)
Fin Si
Si \(i\) est multiple de 7 faire
Afficher \(n\)
Fin si
Fin Pour
Fin
c. Si \(N=99\), quelle sera la plus grande valeur affectée à \(n\) par cet algorithme?
d. Quelle est la plus petite valeur qu'on peut donner à \(N\) pour que cet algorithme permette de dire si 2017 est éliminé avant la quatrième étape du processus d'élimination?