Exercice 4 — Droites en position générale Séries STI2D - STL - STD2A

Sujet

Un maître verrier souhaite rénover un vitrail dont la forme est un triangle équilatéral de côté 2 m .

Partie 1 : Rectangle d'aire maximale

L'artisan souhaite dans un premier temps insérer un motif rectangulaire de couleur bleue. II souhaite de plus optimiser l'apport de lumière bleue en choisissant le rectangle d'aire maximale.

Pour les besoins de notre étude, nous allons introduire les notations suivantes : On nomme \(A B C\) le triangle. On introduit un point \(M\) sur le segment \([A B]\) de telle sorte que la longueur \(B M\), notée \(t\), vérifie \(t \in] 0 ; 1[\).

Par la suite, on place les points \(N \in[C B], P \in[A C]\) et \(Q \in[A B]\) tels que \(M N P Q\) soit un rectangle.

1. Montrer que \(M N=\sqrt{3} M B\).
2. Donner l'expression \(f(t)\) de l'aire du rectangle \(M N P Q\) en fonction du réel \(t\).
3. Justifier qu'il existe une position du point \(M\) sur le segment qui rend l'aire maximale. Quelle est alors l'aire du rectangle \(M N P Q\) ? Quelles en sont les dimensions ?

Partie 2 : Rectangles gigognes

L'artisan souhaite continuer sa restauration en respectant la commande suivante : ajouter dans la partie supérieure triangulaire du vitrail un nouveau motif rectangulaire bleu d'aire maximale.
Et cette opération devra être effectuée plusieurs fois.
On visualise les premières étapes de son travail avec les figures suivantes. On va ici procéder à une construction géométrique en plusieurs étapes :

Étape 1

Étape 2

Étape 3

1. Démontrer que, à l'étape 1 , le triangle supérieur est une réduction du triangle équilatéral initial avec un coefficient de \(\frac{1}{2}\) pour les longueurs.
2. Donner les aires des deux vitraux rectangulaires ajoutés respectivement à l'étape 2 puis à l'étape 3 .
3. On considère un entier \(n \geq 1\). On souhaite connaître l'aire totale hachurée à l'étape \(n\). On note cette surface \(S(n)\).
   a. Donner une expression de \(S(n)\) comme somme de \(n\) termes.
   b. Justifier que \(S(n)=\frac{2 \sqrt{3}}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)\).

On rappelle que pour tout nombre \(q \neq 1,1+q+q^{2}+\cdots+q^{n-1}=\frac{1-q^{n}}{1-q}\).
4. Si le maître verrier continuait sa restauration avec une infinité d'étapes, quelle proportion du vitrail initial serait colorée en bleu?