Exercice 3 — Droites en position générale Séries ES - L - SM TG - ST2S

Sujet

Dans une figure géométrique, on dit que des droites sont en position générale lorsque :
2 droites quelconques sont non parallèles ET 3 droites quelconques sont non concourantes.

On va s'intéresser ici au nombre de zones délimitées (bien entendu une droite est infinie), ainsi qu'au nombre de triangles.
Pour la figure ci-contre constituée de 3 droites en position générale, on observe 7 zones et 1 triangle.

Partie 1 : Nombre de zones

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(z_{n}\) le nombre de zone(s) du plan délimitée(s) quand on construit \(n\) droite(s) en position générale.

1. Recopier et compléter le tableau ci-contre pour les premières valeurs de \(z_{n}\)
2. On souhaite déterminer \(z_{5}\).
   a. Réaliser une figure avec 4 droites \(d_{1}, d_{2}, d_{3}\) et \(d_{4}\) en position générale. On peut alors visualiser le nombre \(z_{4}\) de zones trouvé précédemment.

Nombre de droites \(n\)	Nombre de zones \(z_{n}\)
0	1
1	\(\ldots\)
2	\(\ldots\)
3	\(\ldots\)
4	\(\ldots\)

b. Tracer une cinquième droite \(d_{5}\) d'une couleur différente, de telle sorte que les 5 droites soient en position générale.
c. En coupant les 4 droites \(d_{1}, d_{2}, d_{3}\) et \(d_{4}\), combien de zones initialement délimitées la droite \(d_{5}\) a-t-elle coupé ? En déduire le nombre de zones \(z_{5}\) délimitées dans la figure à 5 droites.
3. On veut généraliser. On considère un entier naturel non nul \(n\) et une figure contenant \(n-1\) droites en position générale.
a. On trace une \(n\)-ième droite \(d_{n}\). Combien de zones cette droite coupe-t-elle?
b. En déduire une expression de \(z_{n}\) en fonction de \(n\). (On vérifiera que la formule permet de retrouver la valeur de \(z_{5}\).)
On donne la formule suivante pour tout entier naturel \(n: 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).
4. Est-il possible de délimiter 2017 zones avec des droites en position générale?

Partie 2 : Nombre de triangles

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(t_{n}\) le nombre de triangle(s) formé(s) dans une figure constituée de \(n\) droite(s) en position générale.

1. Recopier et compléter le tableau ci-contre pour les premières valeurs de \(t_{n}\).
2. On souhaite trouver la valeur de \(t_{5}\).
   a. Construire une figure avec 4 droites \(d_{1}, d_{2}, d_{3}\) et \(d_{4}\) en position générale. On peut alors visualiser le nombre \(t_{4}\) de triangles trouvé précédemment.
   Tracer une cinquième droite \(d_{5}\) d'une couleur

Nombre de droites \(n\)	Nombre de triangles \(t_{n}\)
0	0
1	\(\ldots\)
2	\(\ldots\)
3	\(\ldots\)
4	\(\ldots\)

différente, de telle sorte que les 5 droites soient en position générale.
Justifier que cette droite \(d_{5}\) fait apparaître un nouveau triangle avec chaque paire de droites déjà présentes.