Exercice 2 — Trajet minimal

Sujet

Un agriculteur possède un terrain rectangulaire, divisé par une route en deux parties A et B . L'agriculteur dispose de deux granges A et B distantes chacune de \(1,5 \mathrm{~km}\) de la route principale \(O A=N B=1,5 \mathrm{~km}\) et les deux chemins \([O A]\) et \([N B]\) sont distants de \(O N=3 \mathrm{~km}\), comme le montre la figure ci-contre. (La largeur de la route est négligeable.)
L'agriculteur se déplace avec son tracteur pour aller de la grange A à la grange B. II a la possibilité soit d'emprunter chemin et route sur lesquels il roule à \(5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\), soit de passer à travers champs en ligne droite.
Sur la partie A, il roule à la vitesse de \(4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) et sur la partie B sa vitesse tombe à

\(3 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).

Partie 1 : Le trajet en un minimum de temps

1. Déterminer le temps mis par l'agriculteur s'il emprunte les chemins et la route seulement.
2. Déterminer le temps mis par l'agriculteur s'il décide de passer à travers champs en ligne droite.
3. On se place sur la zone B, et on suppose que le tracteur quitte la route en un point \(M\) et rejoint le chemin au point \(F\). On note \(T_{c}\) la durée du trajet \(M F\) à travers champs et \(T_{r}\) la durée du trajet \(M N F\) par la route et le chemin.
   a. Montrer que : \(T_{c}^{2}-T_{r}^{2}=\frac{9(a-b)^{2}+7\left(a^{2}+b^{2}\right)}{225}\).
   b. Comparer \(T_{c}\) et \(T_{r}\) et en déduire le trajet optimal sur la zone B.
   
4. On suppose maintenant que, sur la zone A , le tracteur quitte le chemin en un point \(D\) et rejoint la route au point \(S\). Ensuite, il se rend à la grange B par le trajet SNB. On note \(x=O D\) et \(y=O S\) (voir figure ci-contre).
   a. Exprimer le temps du trajet \(T\) de la grange A à la grange B en fonction de \(x\) et de \(y\).
   On suppose que \(x\) est fixé et qu'il existe un réel \(\alpha\) tel que \(y=\alpha x\).
   b. Montrer que le temps \(T\) en fonction de \(\alpha\) est :

\[ T(\alpha)=\frac{6}{5}+x\left(\frac{\sqrt{1+\alpha^{2}}}{4}-\frac{1}{5}-\frac{\alpha}{5}\right) . \]

c. Montrer que le minimum \(T_{m}\) de la fonction \(T\) est atteint pour \(\alpha=\frac{4}{3}\). (Indication : si \(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(\alpha)=\sqrt{1+\alpha^{2}}\) alors \(f^{\prime}(\alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}\).)

d. Donner l'expression de \(T_{m}\) en fonction de \(x\) et en déduire que \(T_{m}\) est minimal si \(x\) est maximal.
5. Déterminer la longueur du trajet que l'agriculteur doit emprunter pour arriver en un minimum de temps à la grange B. Quelle est la durée de ce trajet ?

Partie 2 : Le trajet minimal

Sur la partie B l'agriculteur décide d'installer quatre points d'approvisionnement, le premier point est le milieu \(J\) du chemin \([B C]\) et la trajectoire suivie par l'agriculteur est donnée par la figure ci-contre.
À quels endroits précis \(K, H\) et \(I\) l'agriculteur doit-il placer les points d'approvisionnement pour que le trajet parcouru soit minimal ? Quelle est la longueur d'un tel trajet ?