Exercice 1 — Des promenades dangereuses

Sujet

Partie A :

On appelle suite unitaire \(U\), une suite finie ou infinie, de premier terme \(U_{1}=1\), et dont tous les autres termes sont égaux à +1 ou -1. Si la suite est finie, le nombre de ses termes est sa longueur.
Exemple: \(1 ; 1 ;-1 ;-1 ; 1 ;-1 ;-1\) est une suite unitaire de longueur 7
Écrire les termes d'une suite unitaire de longueur 8, dont la somme des termes est +2 , dont la somme des termes de rang pair est -2 et dont la somme des termes dont les rangs sont multiples de 3 est +2 .

Partie B : 7 amis numérotés de 1 à 7 sont au départ d'une route étroite bordée par deux fossés profonds.
Une ligne médiane (en pointillés gras) partage la route en 2 , et deux autres lignes (en pointillés fins) longent les deux fossés. Le point de départ D est indiqué sur la ligne médiane.
Une suite U unitaire est donnée qui modélise les déplacements des 7 amis sur la route.
-1 indique que le promeneur fait un pas en avant mais en allant sur la ligne immédiatement à droite si elle existe, sinon il tombe dans le fossé et sa promenade s'arrête.
+1 indique que le promeneur fait un pas en avant mais en allant sur la ligne immédiatement à gauche si elle existe, sinon il tombe dans le fossé et sa promenade s'arrête.
Pour se déplacer :
l'ami \(\mathrm{n}^{\circ} 1\) lit dans l'ordre tous les termes de la suite,
l'ami \(n^{\circ} 2\) lit dans l'ordre tous les termes de rang pair de la suite, et uniquement ceux-là, et pour tout entier \(\in\{3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}\),
l'ami \(n^{\circ} k\) lit dans l'ordre tous les termes de la suite dont le rang est un multiple de \(k\) et uniquement ceux-là.

Soit la suite unitaire \(V\) de longueur \(9: 1 ;-1 ;-1 ; 1 ;-1 ; 1 ; 1 ;-1 ; 1\). La trajectoire de l'ami \(n^{\circ} 1\) associée à cette suite est représentée ci-contre.
Faire le dessin de la route sur votre copie, et dessinez la de 4 pas de l'ami \(\mathrm{n}^{\circ} 2\).
On voudrait modifier un terme unique de la suite \(V\) de telle parmi les 7 amis tombent dans un fossé pendant leur promenade. Montrer que c'est impossible.

Partie C : On dit qu'une suite unitaire \(U\) est sécurisée pour cette route si elle modélise les déplacements des 7 amis sans qu'aucun ne tombe dans un fossé.

Décrire toutes les suites unitaires sécurisées de longueur 7. Expliquer la démarche.
Montrer qu'il n'existe pas de suite unitaire sécurisée de longueur 12.

Partie D : Paul E., un mathématicien, emmène avec lui 3 amis parmi ceux qui portent un numéro impair. Ils se rendent près d'une autre route plus large, bordée elle aussi de deux fossés profonds, et sur laquelle sont peintes cinq lignes parallèles équidistantes, numérotées de 1 à 5 , la ligne 3 étant la ligne médiane.
Paul tend à chacun des 3 amis une feuille sur laquelle apparaissent les 1000 termes d'une même suite unitaire. II leur dit que, malgré sa longueur, cette suite est sécurisée pour cette route, du fait qu'elle contient cinq lignes. II explique qu'ils doivent suivre les mêmes règles que celles indiquées en partie B et que cette suite est leur guide. Puis il leur demande de commencer leur promenade, en partant tous en même temps du point D indiqué sur la ligne médiane, et en adoptant tous la même vitesse.
Au 58 ème pas, Paul leur dit : « À partir de maintenant et avant la fin de votre promenade, vous allez vous trouver au moins deux fois positionnés de la même façon sur les lignes numérotées. »
Quel raisonnement Paul a-t-il fait pour être si sûr de lui ? Et quels sont les 3 amis qui ont participé à cette promenade ?