Sujet
On rappelle que le volume d'un tétraèdre ou d'une pyramide est : \(V=\frac{\text { Aire de la base × } h}{3}\)
1. Question préliminaire :
On considère un tétraèdre \(A B C D\) dont les sommets sont les sommets d'un cube comme sur le dessin en perspective ci-contre.[0pt] Les côtés [AC], [AD] et [CD] ont pour longueur \(a\).
Déterminer le volume du tétraèdre ABCD en fonction de \(a\).
Un élève fabrique des patrons de solide uniquement avec des segments de la
même longueur \(a\).
2. Premier patron :
Le premier patron que fabrique cet élève est celui d'un tétraèdre régulier (de côté \(a\) ) :a. Montrer que l'on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube de façon à ce que les sommets du tétraèdre soient aussi des sommets du cube. Faire un dessin en perspective et justifier votre réponse.
b. En déduire le volume du tétraèdre régulier en fonction en \(a\) (on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire).
3. Deuxième patron :
Le deuxième patron que fabrique cet élève est celui d'un octaèdre régulier (de côté \(a\) ) :
On admet que cet octaèdre peut s'inscrire dans un cube de façon à ce que les sommets de l'octaèdre soient les centres des faces de ce cube.
En déduire le volume de l'octaèdre en fonction en \(a\).
4. Troisième patron :
Le troisième patron que fabrique cet élève est le suivant : Toutes les faces sont des polygones réguliers de côté \(a\). M ais quel est le volume de ce solide?
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