Exercice 2 — Jouons avec les moyennes Série S (en équipes)

Sujet

On a choisi un nombre entier, noté \(n\), supérieur ou égal à 4 , et on a écrit au tableau les entiers \(1,2,3 \ldots\) jusqu'à \(n\). Le jeu consiste à choisir d'abord deux nombres et à calculer leur moyenne. On efface alors les deux nombres choisis et on les remplace par leur moyenne. On réitère ce processus sur tous les nombres restants. Le jeu s'arrête quand il ne reste plus qu'un nombre au tableau.

Exemple : dans le cas où \(n=4\), une partie possible est la suivante : le joueur décide de choisir 1 et 2 , il efface ces nombres et les remplace par le nombre \((1+2) / 2=1,5\). La liste est maintenant constituée du nombre 1,5 et des nombres entiers 3 et 4 . Le joueur choisit ensuite les nombres 3 et 4 , qu'il efface et remplace par le nombre \((3+4) / 2 =3,5\). Il ne reste alors plus que les nombres 1,5 et 3,5 au tableau. Le joueur choisit ces deux nombres, les efface et les remplace par le nombre \((1,5+3,5) / 2=2,5\). Le jeu s'arrête ainsi sur le nombre 2,5 .

Dans la suite, on choisit de jouer avec le nombre \(n=2017\).

1. Prouver que le jeu ne peut s'arrêter ni sur le nombre 1, ni sur le nombre 2017.
2. Le jeu peut-il s'arrêter sur le nombre 1009 ?
3. Le jeu peut-il s'arrêter sur le nombre 2 ? On pourra débuter la partie en choisissant les nombres 2015 et 2017.
4. Parmi les entiers compris entre 2 et 2016 (au sens large), quels sont ceux qui peuvent être obtenus à la fin du jeu ?
5. Le jeu peut-il s'arrêter sur le nombre \(\frac{2017}{3 \times 15}\) ?