Exercice 1 — Des triangles à l'équilibre Toutes séries (en équipes)

Sujet

On considère la règle d'addition, notée ⊕ , donnée par le tableau ci-dessous :

On a, par exemple, \(2 \oplus 1=0\).
On construit alors des triangles formés de nombres choisis parmi 0 , 1 et 2 de la manière suivante :
On part d'une ligne finie de chiffres, par exemple : 0122 et on ajoute sous chaque paire de nombres consécutifs leur somme pour la règle d'addition ⊕ On poursuit cette construction de ligne en ligne jusqu'à obtenir un triangle.

Ainsi, avec la suite donnée en exemple, on

obtient le triangle :

Un tel triangle est appelé un triangle « de Steinhaus ». Il contient 4 lignes, et on dit donc que c'est un triangle de Steinhaus de taille 4. De manière générale, pour \(n\) un entier naturel non nul, un triangle de Steinhaus qui comporte \(n\) lignes est dit de taille \(n\).
On appelle alors « triangle de Steinhaus équilibré » un triangle qui contient autant de 0
que de 1 que de 2 .
Ainsi, le triangle précédent de taille 4 n'est pas équilibré - il contient deux 0 , cinq 1 et trois 2 - alors que c'est le cas du triangle de taille 5 ci-contre :

1. Donner le triangle de Steinhaus formé à partir de la suite de nombres:

\[ 02201 \]

1. a. Existe-t-il un triangle de Steinhaus équilibré de taille 4 ?
   b. Donner un exemple de triangle de Steinhaus équilibré pour \(n=3\) et pour \(n=6\).
   
2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(T_{n}\) le nombre de symboles formant un triangle de Steinhaus de taille \(n\).
   a. Montrer que : \(T_{n}=1+2+\cdots+n\).

Rappel : pour la suite, on donne l'égalité \(1+2+3+\cdots+n-1+n=\frac{n(n+1)}{2}\)
On aura donc, en vertu de la question précédente : \(T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}\).
Ce résultat pourra être utilisé dans la suite de l'exercice.
b. Déterminer une condition nécessaire sur \(T_{n}\) pour qu'il existe un triangle de Steinhaus équilibré, de taille \(n\).
c. Montrer que si \(n=3 q\) ou \(n=3 q-1\) avec \(q\) un entier naturel non nul, alors \(T n\) est divisible par 3 .
4. Le but de cette question est de construire une infinité de triangles de Steinhaus équilibrés de taille \(n=6 q\), où \(q\) est un entier naturel non nul quelconque.
Pour cela, on va étudier les suites \(\left(u_{n}\right) \geq 0\) définies de la manière suivante :
on pose \(u_{0}=a\), avec \(a \in\{0 ; 1 ; 2\}\), et, pour \(n \geq 0, u_{n+1}=u \oplus\), avec \(r \in\{0 ; 1 ; 2\}\).
Une telle suite est appelée une suite « @ rithmétique ».
Par exemple, la suite @ rithmétique définie par \(a=1\) et \(r=2\) est donnée par la suite de termes: 102102
a. Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de suites @rithmétiques et préciser ce nombre.