Exercice 1 — Pythagorescence

Sujet

Partie A : Présentation et notations

• La figure ci-dessus représente une « Pythagorescence ». C'est une figure dite fractale, c'est-à-dire qu'elle est constituée par un motif répétitif à différentes échelles.
  (1) On part d'un carré de côté \(\mathrm{BC}=5\), on construit le triangle ABC « \(3-4-5\) » rectangle en A (motif de départ).
  (2) On construit sur chaque côté de l'angle droit du triangle le motif précédent à l'extérieur tel que les longueurs du nouveau motif soient respectivement proportionnelles aux longueurs du motif précédent.
  (3) On répète ensuite le processus de construction des motifs comme sur la figure ci-dessus.
• On appelle par exemple :
• génération 0 , noté \(\mathrm{G}_{0}\), le carré de côté [BC]
• génération 1 , noté \(\mathrm{G}_{1}\), l'ensemble des carrés au motif quadrillé
• génération 2 , noté \(\mathrm{G}_{2}\) l'ensemble des carrés aux rayures horizontales

Plus généralement, on appelle génération n , notés \(\mathrm{G}_{\mathrm{n}}\), l'ensemble des carrés d'une même génération n .
Un certain nombre de générations est représentée sur la figure et on peut constater que certains carrés commencent à se chevaucher.

• On note par exemple, comme représentés sur la figure pour les générations \(\mathrm{G}_{1}, \mathrm{G}_{2}\) et \(\mathrm{G}_{3}\) :
• \(\mathrm{G}_{1}(1)\) le plus petit carré de la génération \(\mathrm{G}_{1}\) et \(\mathrm{G}_{1}(2)\) le \(2{ }^{\text {ème }}\) carré de la génération \(\mathrm{G}_{1}\);
• \(\mathrm{G}_{2}(1)\) le \(1^{\text {er }}\) carré de la génération \(\mathrm{G}_{2}, \mathrm{G}_{2}(3)\) le \(3^{\text {ème }}\) carré de la génération \(\mathrm{G}_{2}\);