Exercice 3 — Des paniers surprises — Olympiades 2017 Orléans-Tours

Sujet

Partie A

Mon panier contient 10 articles avec que des objets à \(0,40 € l\) ’unité et des objets à \(2,40 € l\) ’unité. Sachant que le cout total des articles est \(10 €\), déterminer la composition du panier.
Léa affirme qu'elle a également 10 articles dans son panier pour un cout total de \(10 €\) et cependant son panier contient que des objets à \(0,30 € l\) ’unité et des objets à \(2,40 € l\) ’unité. Qu’en pensez-vous ?
Martin se rappelle bien que dans son panier il avait également 10 articles pour un cout total de \(10 €\). Dans son panier, il a effectivement des objets à \(0,30 € l\) 'unité et des objets à \(m € l\) 'unité avec \(m\) ayant 2 décimales. Donner toutes les compositions possibles des paniers, en précisant à chaque fois la valeur de \(m\) correspondante.

Partie B

Mon panier contient 50 articles avec que des articles à \(0,50 € l\) ’unité et des articles à \(2,50 € l\) ’unité et des articles à 2 \(€ l\) ’unité. Le cout total des 50 articles est \(50 €\). a. Montrer que la situation peut-être modélisée par : \(\{0,5 x+2,5 y+2 z =50 x+y+z=50\).
b. Démontrer qu'alors \(y=3 x-100\).
c. Donner toutes les compositions possibles de mon panier.
Cette fois-ci, le panier de Léa contient 50 articles dont certains à \(0,30 € l\) 'unité, d'autres à \(1,20 € l\) 'unité et les autres à \(2,50 €\) l’unité.

Le cout total de tous les articles est de 50 €.
a. Démontrer que dans ce cas, \(752,21,3 \times \mathrm{y}\)
b. Recopier et compléter l'algorithme ci-contre pour qu'il détermine la composition du panier.
c. Déterminer toutes les compositions possibles du panier.
3. Le panier de Martin contient lui aussi 50 articles pour un cout total de \(50 €\) avec que des objets à \(0,30 € l\) ’unité, des objets à \(1,20 € l\) ’unité et des articles à \(m\) euros l'unité. Il ne se souvient si la valeur de \(m\) est de \(1,30 €\) ou de \(1,40 €\)
a. Démontrer qu'alors \(50(1)(0,3) 1,2 \mathrm{~m} \mathrm{~m} \mathrm{x} \mathrm{y} \mathrm{m}\) □ □ \(\square\) □ □
b. Recopier et modifier l'algorithme pour qu'il aide Martin à déterminer la composition du panier.

Variables :
x , y et z sont des nombres réels
Initialisation :
x prend la valeur 1
Traitement :
Tant que \(x \leq \ldots\)
y prend la valeur ....
Si y est un nombre entier naturel strictement positif alors z prend la valeur ...
Afficher x , y et z
Fin si
x prend la valeur \(\mathrm{x}+1\)
Fin tant que

Séries autres que S

Partie A

On obtient un système de deux équations à 2 inconnues \(\left\{\begin{array}{l}0,4 x+2,4 y=10 \\ x+y=10\end{array}\right.\) qui donne comme solution \(\mathrm{x}=7\) et \(y=3\)
On obtiendrait le système \(\left\{\begin{array}{l}0,3 x+2,4 y=10 \\ x+y=10\end{array}\right.\) qui donne comme solution (-4; 14/3) ce qui n'est pas compatible avec le problème posé.
On obtiendrait le système \(\left\{\begin{array}{l}0,3 x+m y=10 \\ x+y=10\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0,3 x+m y=10 \\ -0,3 x-0,3 y=-3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(m-0,3) y=7 \\ x+y=10\end{array}\right.\right.\right.\)

On obtient \(\mathrm{m}=\frac{7}{y}+0,3\)

Or les différentes possibilités pour y sont :

\(\quad y=1 ; x=9\) et \(m=7,3\)
\(y=2 ; x=8\) et \(m=3,8\)
\(y=3 ; x=7\) et \(m(=79 / 30)\) n'est pas un nombre décimal ayant deux chiffres après la virgule donc ne convient pas
\(\quad y=4 ; x=6\) et \(m=2,05\)
\(\quad y=5 ; x=5\) et \(m=1,7\)
\(\quad y=6 ; x=4\) et \(m\) n'est pas un nombre décimal ayant deux chiffres après la virgule donc ne convient pas
\(\quad y=7 ; x=3\) et \(m=1,3\)
\(\quad y=8 ; x=3\) et \(m(=1,175)\) n'est pas un nombre décimal ayant un seul chiffre après la virgule donc ne convient pas
\(\quad \mathrm{y}=9 ; \mathrm{x}=1\) et \(\mathrm{m}(=97 / 90)\) n'est pas un nombre décimal ayant un seul chiffre après la virgule donc ne convient pas

Conclusion : les seules compositions du panier de M artin sont :

9 objets à \(0,30 €\) l'unité et 1 objet à \(7,3 €\) l'unité.
8 objets à \(0,30 €\) I'unité et 2 objets à \(3,8 €\) I'unité.
6 objets à \(0,30 €\) l'unité et 4 objets à \(2,05 €\) l'unité.
5 objets à \(0,30 €\) I'unité et 5 objets à \(1,7 €\) I'unité.
3 objets à \(0,30 €\) l'unité et 7 objets à \(1,3 €\) l'unité.