Sujet
Un jeu consiste à recouvrir un plateau carré en bois à l'aide de pièces elles-mêmes de forme carrée.
Le recouvrement ne doit comporter ni trou, ni chevauchement, ni débordement du plateau.
Les pièces peuvent être de tailles différentes, mais aucune ne recouvre à elle seule le plateau.
- De combien de pièces carrées faut-il disposer au minimum pour recouvrir le plateau?
- Expliquez pourquoi il n'est pas possible de recouvrir le plateau en utilisant exactement 5 pièces.
- Proposez un recouvrement du plateau carré ci-dessous à l'aide de 9 puis 6 et enfin 7 pièces carrées de la taille de votre choix.
9 pièces
6 pièces
7 pièces
- Soit n un entier supérieur ou égal à 2 .
a. Compléter l'égalité \(\mathrm{n}^{2}=(\mathrm{n}-1)^{2}+\ldots\)
b. Déduisez-en comment recouvrir un plateau carré de côté \(n\) en utilisant exactement \(2 n\) pièces carrées (on pourra commencer par placer une pièce de côté \(n-1\) ).
c. En déduire comment on peut recouvrir ce plateau en utilisant exactement \(2 n+3\) pièces carrées.
d. Dessiner un recouvrement d'un plateau carré utilisant exactement 12 pièces.
e. Dessiner un recouvrement d'un plateau carré utilisant exactement 13 pièces. - Nous avons réussi à recouvrir ci-contre un plateau carré en utilisant exactement 17 pièces carrées. Les codages indiquent les pièces identiques. Les plus petites pièces sont des carrés de côté 1 cm . Quelles sont les dimensions du plateau ? Justifiez.
NORM ANDIE
CAEN - ROUEN
Exercice 1 : La constante de Pythagore
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Partie A : format de papier
Le format papier \(\mathrm{A}_{0}, \mathrm{~A}_{1}, \mathrm{~A}_{2} \ldots\) est aujourd'hui la norme dans beaucoup de pays. Il a été conçu pour satisfaire à la définition du rectangle diagonal : en pliant une feuille en deux selon le schéma ci-dessous, on obtient un nouveau rectangle dont le rapport des dimensions est le même que celui du rectangle initial.
Les premières tentatives de légalisation de ce type de format ont pour cadre la Révolution française et les projets d'élaboration de normes dont celles du mètre étalon. Rapidement oubliée en France, c'est en Allemagne que ressurgit l'idée de cette norme. Elle s'impose à la communauté intemationale au début du \(\mathbf{2 0}^{\mathrm{e}}\) siècle. L'avènement des machines à photocopier a conforté l'intérêt du rectangle diagonal comme format de référence.
- Notons \(L\) la longueur et \(l\) la largeur d'un rectangle diagonal. Montrer que \(\frac{L}{l}=\sqrt{2}\).
- Sachant que l'aire d'une feuille \(\mathrm{A}_{0}\) est de \(1 \mathrm{~m}^{2}\), retrouver le format au mm près d'une feuille A 4 .
Partie B : Les mathématiques, c'est dangereux !
Selon Pythagore « tout est nombre ». Lui et ses disciples pensaient en outre que tous les nombres étaient des fractions. C'est dans le groupe des pythagoriciens que fut élaborée la preuve que la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1 , c'est à dire \(\sqrt{2}\), est un nombre irrationnel: ce fut un énorme scandale. La légende raconte qu'un des disciples, Hyppase de Métaque, accusé d'avoir révélé cette découverte, périt noyé, jeté à la mer par ses condisciples. C'est pourquoi \(\sqrt{2}\) est parfois appelée la constante de Pythagore.- Montrer que le carré d'un nombre pair est pair et que le carré d'un nombre impair est impair.
- Supposons qu'il existe une fraction irréductible telle que \(\sqrt{\mathbf{2}}=\frac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{b}}\).
a. Montrer que \(a^{2}=2 b^{2}\). Quelle est la parité de \(a\) ?
b. En déduire que b est aussi un nombre pair.
c. Pourquoi est-il absurde de penser qu'une telle fraction existe ? - Peut-on affirmer que \(\sqrt{\mathbf{2}}=\frac{22619537}{15994428}\) ?
Partie C
Pour trouver une valeur approchée de \(\sqrt{2}\), Héron d'Alexandrie propose une méthode fondée sur la construction d'une suite de rectangles d'aire 2 . Il semblerait que cette méthode ait été employée par les babyloniens.- On part d'un rectangle de longueur 2 (et donc de largeur 1);
- À chaque étape, on construit un rectangle d'aire \(\mathbf{2}\) dont la longueur est la moyenne des dimensions du rectangle précédent.
Etape 3
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