Sujet
Théo joue à un jeu vidéo, dont voici le principe :
Le support est un cube \(A B C D E F G H\) de côté 2 . Pour se repérer plus facilement, on munit le cube du repère ( \(A, \frac{1}{2} \overrightarrow{A B}, \frac{1}{2} \overrightarrow{A D}, \frac{1}{2} \overrightarrow{A E}\) ).
Autrement dit, le point \(A\) a pour coordonnées ( \(0 ; 0 ; 0\) ), le point \(B(2 ; 0 ; 0)\), le point \(C(2 ; 2 ; 0)\), le point \(H(0 ; 2 ; 2)\), etc.
Au début de la partie, un pirate se trouve en \(\boldsymbol{A}\). Son objectif est de s'emparer du trésor, se trouvant en \(G\). Pour cela, il dispose de six déplacements exactement. Il a trois types de déplacements possibles : « \(d »\) : 1 vers la droite, « \(h\) » : 1 vers le haut et « \(f \gg: 1\) vers le fond. Chaque déplacement est choisi au hasard par le programme du
jeu, et déclenché par le clic du joueur.
Comme on ne peut pas sortir du cube, il se peut qu'un des six déplacements ne soit pas réalisable ; dans une telle situation, le pirate ne bouge pas et attend le prochain déplacement. Ainsi, tout trajet (composé de six déplacements successifs proposés par le programme) est « possible », même si chaque déplacement n'est pas nécessairement réalisé. Par exemple, le tirage dddffd conduit au point C .
Le pirate peut s'emparer d'un avant-goût du trésor (quelques pièces d'or), s'il parvient à un point dont les trois coordonnées sont identiques, et autre que les points de départ ou d'arrivée, autrement dit, le centre du cube. Ce gain est conservé quelle que soit l'issue des six déplacements. En termes de points, lorsque le pirate s'empare du « mini trésor» au centre du cube, le joueur remporte 10 points ; lorsqu'il parvient en \(G\), le joueur remporte 40 points (éventuellement cumulés au « mini trésor ») ; dans tous les autres cas, le joueur ne remporte aucun point. On appelle \(X\) le gain, en nombre de points, de la partie, qui peut donc valoir 0 , 10 , 40 ou bien 50 points.
1. Dénombrer les tirages
- Un tirage est l'ensemble des six déplacements aléatoires considérés dans l'ordre où ils sont effectués ; par exemple, \(d h h f h d\) est un tirage qui mène le pirate en \((2 ; 1 ; 2) ; h h d h f d\) n'est pas le même tirage, puisque les déplacements ne se font pas dans le même ordre, mais il mène le pirate au même point.
a. Donner un exemple de tirage rapportant exactement 10 points.
b. Donner un exemple de tirage rapportant exactement 40 points.
c. Donner un exemple de tirage rapportant exactement 50 points. - Déterminer le nombre total de tirages différents que peut proposer le programme.
- On veut dénombrer le nombre total de tirages gagnants, c'est-à-dire menant au trésor.
a. Combien de tirages gagnants commencent par \(d d\) ?
b. Combien de tirages gagnants commencent par \(d f\) ?
c. Montrer qu'exactement 90 tirages mènent au trésor. On pourra admettre ce résultat pour la suite de l'exercice. - Compter le nombre de tirages permettant de gagner 50 points, c'est-à-dire conduisant au « mini trésor» et au trésor.
- Combien de tirages conduisent au centre du cube, sans mener au trésor ?
2. En termes de probabilités
- Quelle probabilité a Théo de gagner le trésor ?
- Quelle probabilité a-t-il de gagner 50 points?
- De combien de pièces carrées faut-il disposer au minimum pour recouvrir le plateau?
Le minimum est 4 pièces.
2. Expliquez pourquoi il n'est pas possible de recouvrir le plateau en utilisant exactement 5 pièces.
Supposons que 5 pièces recouvrent le plateau. Une même pièce ne peut pas occuper 2 sommets du plateau. Considérons les 4 pièces occupant les sommets :
- soit ces pièces sont des quarts de plateau. M ais alors elles ne laisseraient aucun espace libre pour la \(5^{\circ}\) pièce.
- soit elles ne sont pas des quarts de plateau. M ais alors l'espace restant ne peut pas être un carré.
- Proposez un recouvrement du plateau carré ci-dessous à l'aide de 9 puis 6 et enfin 7 pièces carrées de la taille de votre choix.
Pour 9, il suffit de recouvrir par \(3 \times 3=9\) carrés identiques. Pour 6, il suffit de regrouper 4 carrés en un seul dans la configuration précédente. Pour 7, on peut par exemple considérer la configuration ci-dessous :
- Soit n un entier supérieur ou égal à 2 .
a. Compléter l'égalité. \((n-1)^{2}+2 n-1=n^{2}-2 n+1+ 2 n-1=n^{2}\)
b. Déduisez-en comment recouvrir un plateau carré de côté n en utilisant exactement \(2 n\) pièces carrées (on pourra commencer par placer une pièce de côté n-1).
Il suffit de diviser le plateau en \(\mathrm{n}^{2}\) carrés de côté 1 , puis de regrouper ( \(n-1)^{2}\) pièces parmi elles pour former une seule pièce carrée de côté \(n-1\).
A cette pièce, on ajoute les \(n+n-1=2 n-1\) pièces de côté 1 restantes pour former un ensemble de
c. Il suffit dans la configuration précédente de subdiviser une pièce carrée en quatre pièces carrées identiques.
d. Il suffit de prendre \(n=6\) dans la question b.
e. Il suffit de prendre \(n=5\) dans la question c.
5 On peut montrer que des carrés de côté \(1,2,3\) et 4 cm conviennent ; le plateau a donc une largeur de 11 cm . On peut aussi résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues : en notant x le côté de la plus grande pièce, y le côté d'un carré hachuré, z le côté d'un carré blanc et c le côté du plateau, on obtient les équations suivantes : \(2 x+y=c ; z+1=y ; y+1=x ; 2 y+2 z+1=c\)
La résolution du système fournit \(x=4 ; y=3 ; z=2 ; c=11\).
4. 8 configurations solutions :
Partie B
On a \(6 S_{1}=1+2+3+4+5+6+7+8+9+2 S_{2}\), car les entiers situés sur les sommets comptent triples.Donc \(6 S_{1}=2 S_{2}+45\)
Par conséquent \(45=6 S_{1}-2 S_{2}=2\left(3 S_{1}-S_{2}\right)\) et 45 est divisible par 2 . Absurde
Il n'existe donc aucune configuration pour laquelle les sommes des entiers seraient égales sur chaque arête de la pyramide.
4. Le message clair est OLYM PIADES et le message codé est QWCOAM COIU. La clé est CLE.
III Le chiffrement affine
A Préliminaire
\[ x=43 \]| r | 43 | 17 |
| Condition | vraie | fausse |
L'algorithme affiche \(\mathrm{r}=17\)
\[ x=101 \]
| r | 101 | 75 | 49 | 23 |
| Condition | vraie | vraie | vraie | fausse |
L'algorithme affiche \(\mathrm{r}=23\)
B. Coder avec le chiffrement affine
- \(a=9\) et \(b=2\). À la lettre \(L\) est associé l'entier \(x=11.9 \times 11+2=101\) et le reste de la division euclidienne de 101 par 26 est 23 d'après la partie A. À l'entier 23 est associée la lettre X.
- \(\mathrm{a}=13\) et \(\mathrm{b}=2\).
À la lettre B est associé l'entier \(\mathrm{x}=1.13 \times 1+2=15\) et \(15 \leq 26\). À l'entier 15 est associé la lettre \(P\).
À la lettre D est associé l'entier \(\mathrm{x}=3.13 \times 3+2=41\) et le reste de la division euclidienne de 41 par 26 est 15 .
À l'entier 15 est associée la lettre P.
Deux lettres différentes sont codées par la même lettre. Ce codage n'est donc pas bon puisque le décryptage donnera plusieurs solutions.
3. \(\mathrm{b}=2\) et a est inconnu. On sait que J est codé par D .
À la lettre J est associé l'entier 9 et à la lettre D est associée 3.
Le reste de la division euclidienne de \(9 a+2\) par 26 est 3 donc \(9 a+2=26 q+3\) avec \(q\) un entier.
On cherche a tel que \(9 a-26 q=1\) avec a unique. Le couple ( \(3 ; 1\) ) vérifie cette équation et on en déduit que \(\mathrm{a}=3\).