Exercice 2 — L'Etoile de Héron

Sujet

Héron est un mathématicien grec ayant vécu au ler siècle après JC. II s'est intéressé entre autres choses aux polygones dont certaines caractéristiques sont mesurées par des entiers. On lui a attribué aussi une formule portant son nom permettant de calculer l'aire S d'un triangle en connaissant les longueurs de ses trois côtés \(\mathrm{a}, \mathrm{b}\) et c :
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \quad\) où \(p=\frac{a+b+c}{2}\)
Un pentagone ou polygone à 5 côtés est dit « de Héron» si les longueurs de ses côtés, de ses diagonales ainsi que son aire sont mesurées par des nombres entiers naturels.
On le dit « de Robbins» s'il existe en plus un cercle passant par ses cinq sommets.

1. On se propose d'étudier un type particulier de pentagone en forme d'« enveloppe» comme le pentagone ABCDE ci-contre où ABDE est un rectangle, BCD est un triangle isocèle, I est le milieu de [BD] et J le milieu de [AE].
   a) Un tel pentagone où, \(A B=B D\) et \(A B\) est un entier, peut-il être de Héron ?
   b) Un tel pentagone où \(\mathrm{AB}=8, \mathrm{BI}=3\) et \(\mathrm{IC}=4\) est-il de Héron?
   
2. Dans la figure ci-dessous, AEOYP est un pentagone de Héron où AEYP est un rectangle, OYE est un triangle isocèle avec \(O E=O Y=15\), \(K\) est le milieu de \([E Y]\), EK et \(O K\) sont des entiers. On sait également que \(A O=20\).
   
   a) On pose \(\mathrm{x}=\mathrm{EK}, \mathrm{h}=0\) K et \(\mathrm{y}=\mathrm{AE}\). M ontrer que \(y(2 h+y)=175\). En déduire que \(\mathrm{y}=7\) et \(\mathrm{h}=9\). Calculer les longueurs \(A E, E Y\) et \(E P\) ainsi que l'aire du pentagone AEOYP.
   Ce pentagone est-il un pentagone de Robbins?
   b) Dans cette question les résultats seront donnés sous forme de fractions.

Montrer que SK \(=\frac{27}{4}\). Calculer les longueurs OS, ES, SL. M ontrer que ED \(=\frac{175}{39}\).
On admettra pour la suite que \(\mathrm{SD}=\frac{245}{156}\). Calculer les longueurs DI, AD et AI.
Justifier que si on procède à un agrandissement de cette figure par un facteur 156, toutes ces longueurs deviennent des entiers. Calculer alors l'aire de l'étoile OLYM PIADES.