Sujet
Un primeur organise son étal d'oranges (qu'on modélise par des boules de même diamètre) en les installant soit sous forme d'une pyramide à base carrée, soit sous forme d'une pyramide dont la base est un triangle équilatéral comme illustré ci-dessous.
On appellera alors hauteur de la pyramide le nombre de niveaux formés pour construire cette dernière.
Pyramide à base carrée (vue du dessus)
Pyramide à base triangulaire (vue du dessus)
Par exemple, une pyramide à base triangulaire à 4 niveaux est constituée d'une superposition de quatre couches d'oranges (comme illustré ci-après), et le primeur utilise 20 oranges pour réaliser cet empilement. Il s'agit donc d'une pyramide de hauteur 4.
Niveau 1
Niveau 2
Niveau 3
Niveau 4
- Pour une pyramide à base triangulaire, le primeur a commencé à déterminer le nombre d'oranges empilées en fonction du nombre de niveaux, et a récapitulé ces valeurs dans le tableau ci-dessous.
| Hauteur de la pyramide | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Nombre d'oranges | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 | 84 | 120 | 165 |
a. Combien doit-il empiler d'oranges pour réaliser une pyramide à base triangulaire à 15 niveaux ?
b. Le primeur dispose de 2017 oranges et souhaite les empiler en un tas le plus haut possible sous forme d'une pyramide à base triangulaire. Le pourra-t-il sans qu'il reste d'oranges ? Quelle sera la hauteur de la pyramide la plus haute qu'il puisse construire?
2. Pour un entier naturel n non nul, on admet que le nombre \(c(n)\) d'oranges utilisées pour former une pyramide à base carrée en fonction du nombre \(n\) de niveaux est donné par la formule ci-dessous :
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