Exercice 2 — Les rectangles sympathiques

Sujet

Série S

Soit a et b deux entiers naturels tels que \(0<\mathrm{a} \leq \mathrm{b}\).
Le rectangle de largeur a et de longueur b est noté (a ; b).
On note P le périmètre de ce rectangle, et S son aire : on a donc \(\mathrm{P}=2 \times(\mathrm{a}+\mathrm{b})\) et \(\mathrm{S}=\mathrm{a} \times \mathrm{b}\).
Le rectangle de dimensions entières (a ; b) est dit sympathique si S est divisible par P.
Exemple : Le rectangle \((10 ; 15)\) est sympathique. En effet:

• Ses dimensions sont entières.
• De plus, \(P=2 \times(10+15)=50\) et \(S=10 \times 15=150\) : l'égalité \(S=3 \times P\) justifie que S est divisible par \(P\).

Partie A : quelques exemples de rectangles sympathiques

1. Parmi les deux rectangles ci-dessous, indiquer lequel est sympathique :

Rectangle (21; 28)

Rectangle (28; 40)

a. Existe-t-il au moins un rectangle sympathique tel que \(\mathrm{P}=20\) ? Si oui, les déterminer tous. Sinon, expliquer pourquoi.
b. Existe-t-il au moins un rectangle sympathique tel que \(\mathrm{P}=100\) ? Si oui, les déterminer tous. Sinon, expliquer pourquoi.
2. Déterminer les dimensions de tous les carrés sympathiques.
a. Écrire un algorithme qui renvoie la largeur de tous les rectangles sympathiques de longueur 1200.
b. Donner alors tous les rectangles sympathiques du type (a ; 1200).

Partie B : Rectangles sympathiques à largeur fixée

1. Dans cette question, on souhaite déterminer la longueur de tous les rectangles sympathiques du type ( 5 ; b), où b est un entier naturel supérieur ou égal à 5 .
   a. Justifier que, pour tout rectangle du type ( 5 ; b), on a : \(3 \times \mathrm{P}>\mathrm{S}\).
   b. En déduire que le seul rectangle sympathique de largeur 5 est de longueur 20.
2. a. Déterminer la longueur de tous les rectangles sympathiques du type ( 4 ; b).
   b. Déterminer la longueur de tous les rectangles sympathiques du type ( 3 ; b).
   c. Démontrer qu'il n'existe aucun rectangle sympathique du type ( 2 ; b).
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel impair \(a \geq 3\), le rectangle (a ; a(a-1)) est sympathique.
   b. Démontrer que, pour tout entier naturel \(a \geq 3\), on peut trouver un rectangle sympathique de largeur a.