Exercice 1 — Les cartes bicolores

Sujet

Toutes séries

On dispose d'une surface rectangulaire orientée (Nord/Sud - Est/Ouest) sur laquelle est tracé un quadrillage régulier formé de cases carrées, et de cartes carrées bicolores (identiques à celle donnée ci-dessous) dont les dimensions sont égales à celles d'une case du quadrillage.

nord
Surface rectangulaire quadrillée	Carte bicolore

Il s'agit de recouvrir toutes les cases du quadrillage avec ces cartes bicolores, en respectant les deux contraintes suivantes:

• les cartes seront disposées dans les cases du quadrillage dans une des quatre positions suivantes :
• ces cartes bicolores sont disposées de sorte que, quand elles ont un
  
  bord commun, les parties ayant ce bord commun (dites "adjacentes") ont la même couleur.

1. Dans cette partie, le quadrillage forme un carré quadrillé par \(\mathrm{n} \times \mathrm{n}\) cases (où n est un entier naturel).
   a. Pour \(\mathrm{n}=2\), voici trois dispositions possibles respectant les deux contraintes (dispositions 1, 2 et 3) :

nord sud	nord sud	nord	nord
Disposition 1	Disposition 2	Disposition 3	Disposition 4 (incomplète)

Proposer (en les représentant sur la copie) deux façons différentes de compléter la quatrième disposition en respectant les deux contraintes.

Déterminer le nombre de façons différentes de recouvrir un quadrillage de \(2 \times 2\) cases en respectant les deux contraintes données.

Pour un entier naturel n quelconque non nul, combien existe-t-il de façons différentes de recouvrir un quadrillage de \(\mathrm{n} \times \mathrm{n}\) cases en respectant les deux contraintes données ?